曲线

曲线的普通定义就是在几何空间中的“弯曲了的线”。而直线是一种特殊的曲线，只不过它的曲率为零。在《解析几何》中，曲线用一组连续函数的方程组来表示。

需要注意的是：我们通常所说的曲线和直线都是指欧几里得几何所定义的欧几里得空间中的相关概念。此外，还存在多种不为多数人所知的非欧几里得几何，其中的直线和曲线的定义和欧几里得几何的定义有很大差别，甚至不能类比。想深入学习数学的人切忌将不同几何空间中的同名概念相互混淆。

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在数学上，一条曲线的定义为：

设 I 为一实数区间，即实数集的非空子集，那么曲线 c 就是一个连续函数 c : I → X 的映像，其中 X 为一个拓扑空间。

我们常遇到的平面曲线的拓扑空间为 $\mathbb{R}^2$ 。

请参阅参数方程。

一般来说，当在 $\mathbb{R}^n$ 下一些符合一条方程的点的集合组成一条曲线时，那方程就叫那曲线的曲线方程。

例如， $x 2 + y 2 = 1$ 是单位圆的曲线方程，因为有且仅有单位圆上的点符合这条方程；因这些点组成一个单位圆，故该方程正代表着平面上的单位圆。

若一条平面曲线可表达成标准方程 $y= f(x)\,$ ，那么它的长度就是：

$\int_a^b {\sqrt {\left[ f'\left( x \right) \right] ^ 2 + 1} \;{\rm{d}}x}$

其中 $a\,$ 、 $b \,$ 为 $x\,$ 的上下限。

若平面曲线可表达成参数方程 $\left\{\begin{matrix} x = x\left(t\right) \\ y=y\left(t\right)\end{matrix}\right.$ ，那么它的长度就是：

$\int_\alpha ^\beta {\sqrt {\left( {x'} \right)^2 + \left( {y'} \right)^2 } {\rm{d}}t}$

其中 $\alpha\,$ 、 $\beta\,$ 为 $t\,$ 的上下限。