变分法

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变分法是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。

变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。

变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。

同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，摩尔斯理论，或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为Plateau问题。

[编辑] 欧拉-拉格朗日方程(The Euler-Lagrange equation)

在理想情形下，一函數的最大值及最小值會出現在其導數為0的地方。同樣地，求解變分問題時也可以先求解相關的欧拉-拉格朗日方程。以下以尋找連接平面上兩點 $(x 1, y 1)$ and $(x 2, y 2)$ 最短曲線的例子，說明求解的過程。曲線的長度為

$A[f] = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + [ f'(x) ]^2} \, dx,$

其中

$f'(x) = \frac{df}{dx}, \,$

f (x 1) = y 1

,

f (x 2) = y 2 .

函數f 至少需為一階可微的函數。若 $f 0$ 是一個局部最小值，而 $f 1$ 是一個在端點 $x 1$ 及 $x 2$ 取值为零并且至少有一階導數的函數，則可得到以下的式子

$A[f_0] \le A[f_0 + \epsilon f_1]$

其中 ε 為任意接近 0 的數字。

因此 $A [f 0 + ε f 1]$ 對 ε 的導數( A 的一階導數 ) 在 ε=0 時必為 0。對任何的函數 $f 1$ ，下式均成立：

$\int_{x_1}^{x_2} \frac{ f_0'(x) f_1'(x) } {\sqrt{1 + [ f_0'(x) ]^2}}dx =0, \,$

此條件可視為在可微分函數的空間中， $A [f 0]$ 在各方向的導數均為 0。若假設 $f 0$ 二階可微(或至少弱微分存在)，則利用分部積分法可得

$\int_{x_1}^{x_2} f_1(x) \frac{d}{dx}\left[ \frac{ f_0'(x) } {\sqrt{1 + [ f_0'(x) ]^2}} \right] \, dx =0,$

其中 $f 1$ 為在兩端點皆為 0 的任意二階可微函數。這是變分法基本引理的一個特例:

$I =\int_{x_1}^{x_2} f_1(x) H(x) dx =0, \,$

其中 $f 1$ 為在兩端點皆為 0 的任意可微函數。

若存在 $x = \hat x$ 使 $H (x) > 0$ ，則在 $\hat x$ 周圍有一區間的 H 也是正值。可以選擇 $f 1$ 在此區間外為 0，在此區間內為非負值，因此 $I > 0$ ，和前提不合。若存在 $x = \hat x$ 使 $H (x) < 0$ ，也可證得類似的結果。因此可得到以下的結論：

$\frac{d}{dx}\left[ \frac{ f_0'(x) } {\sqrt{1 + [ f_0'(x) ]^2}} \right] =0\,$

由結論可推得下式：

$\frac{d^2 f_0}{dx^2}=0,$

因此兩點間最短曲線為一直線。

在一般情形下，則需考慮以下的計算式

$A[f] = \int_{x_1}^{x_2} L(x,f,f') dx \,$

其中 f 需有二階連續的導函數。在這種情形下，拉格朗日量L在極值 $f 0$ 处滿足欧拉-拉格朗日方程

$-\frac{d}{dx} \frac{\part L}{\part f'} + \frac{\part L}{\part f}=0\,$

不過在此處，欧拉-拉格朗日方程只是有極值的必要條件，並不是充分條件。

[编辑] 費馬原理

費馬原理指出：光會延著兩端點之間所需光程最短的路徑前進。假設 $\! y=f(x)$ 為光的路徑，則光程可以下式表示：

$A[f] = \int_{x=x_0}^{x_1} n(x,f(x)) \sqrt{1 + f'(x)^2} dx, \,$

其中折射率 $\! n(x,y)$ 依材料特性而定。

若選擇 $\! f(x) = f_0 (x) + \epsilon f_1 (x)$ ，則 A 的一階導數 (A 對 $ε$ 的微分) 為：

$\delta A[f_0,f_1] = \int_{x=x_0}^{x_1} \left[ \frac{ n(x,f_0) f_0'(x) f_1'(x)}{\sqrt{1 + f_0'(x)^2}} + n_y (x,f_0) f_1 \right] dx \,$

將括號中的第一項用分部積分處理，可得歐拉-拉格朗日方程

$-\frac{d}{dx} \left[\frac{ n(x,f_0) f_0'}{\sqrt{1 + f_0'^2}} \right] + n_y (x,f_0) =0. \,$

光線的路徑可由上述的積分式而得。

[编辑] 斯涅爾定律

當光進入或離開透鏡面時，折射率會有不連續的變化。考慮

$n(x,y) = n_- \quad \hbox{if} \quad x<0, \,$

$n(x,y) = n_+ \quad \hbox{if} \quad x>0,\,$

其中　 $n -$ 和 $n +$ 是常數。在x<0或x>0的區域，歐拉-拉格朗日方程均和以上描述的相同。因為折射率在二個區域均為定值，在二個區域光都以直線前進。而在x=0的位置，f必須連續，不過f' 可以不連續。在上述二個區域用分部積分的方式解歐拉-拉格朗日方程，則其變分量為

$\delta A[f_0,f_1] = f_1(0)\left[ n_-\frac{f_0'(0_-)}{\sqrt{1 + f_0'(0_-)^2}} -n_+\frac{f_0'(0_+)}{\sqrt{1 + f_0'(0_+)^2}} \right].\,$

和 $n -$ 相乘的係數是入射角的正弦值，和 $n +$ 相乘的係數則是折射角的正弦值。若依照斯涅爾定律，上述二項的乘積相等，因此上述的變分量為 0。因此斯涅爾定律所得的路徑也就是要求光程一階變分量為 0 的路徑。

[编辑] 費馬原理在三維下的形式

費馬原理可以用向量的形式表示：令 $X = (x 1, x 2, x 3)$ , 而t為其參數, $X (t)$ 是曲線C參數化的表示, 而令 $\dot X(t)$ 為其法線向量。因此在曲線上的光程長為

$A[C] = \int_{t=t_0}^{t_1} n(X) \sqrt{ \dot X \cdot \dot X} dt. \,$

上述積分和 t 無關，因此也和C的參數表示方式無關。使曲線最短的歐拉-拉格朗日方程有以下的對稱形式

$\frac{d}{dt} P = \sqrt{ \dot X \cdot \dot X} \nabla n, \,$

其中

$P = \frac{n(X) \dot X}{\sqrt{\dot X \cdot \dot X} }.\,$

依 P 的定義可得下式

$P \cdot P = n(X)^2. \,$

因此上述積分可改為下式

$A[C] = \int_{t=t_0}^{t_1} P \cdot \dot X \, dt.\,$

依照上式，若可以找到一個梯度 P的函數 ψ，則以上的積分A就可以由在積分端點上 ψ 的差求得。以上求解曲線使積分量不變的問題就和 ψ 的 level surface 有關。為了要找到滿足此條件的函數 ψ，需要對控制光線傳動的波動方程式進行進一步的研究。

[编辑] 和波動方程的關係

最优控制的理论是变分法的一个推广

[编辑] 参看

[编辑] 参考

Fomin, S.V. and Gelfand, I.M.: Calculus of Variations, Dover Publ., 2000
Lebedev, L.P. and Cloud, M.J.: The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics, World Scientific, 2003, pages 1-98
Charles Fox: An Introduction to the Calculus of Variations, Dover Publ., 1987
Forsyth, A.R.: Calculus of Variations, Dover, 1960
Sagan, Hans: Introduction to the Calculus of Variations, Dover, 1992
Weinstock, Robert: Calculus of Variations with Applications to Physics and Engineering, Dover, 1974
Clegg, J.C.: Calculus of Variations, Interscience Publishers Inc., 1968
Elsgolc, L.E.: Calculus of Variations, Pergamon Press Ltd., 1962

[编辑] 外部连接

Chapter III: Introduction to the calculus of variations by Johan Byström, Lars-Erik Persson, and Fredrik Strömberg
PlanetMath.org: Calculus of variations
Wolfram Research's MathWorld: Calculus of Variations
Example problems in the calculus of variations

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