变分法

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变分法是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。

变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。

变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。

同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，摩尔斯理论，或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为Plateau问题。

[编辑] 欧拉-拉格朗日方程(The Euler-Lagrange equation)

在理想情形下，一函數的最大值及最小值會出現在其導數為０的地方。同樣地，求解變分問題時也可以先求解相關的欧拉-拉格朗日方程。以下以尋找連接平面上兩點 $(x 1, y 1)$ and $(x 2, y 2)$ 最短曲線的例子，說明求解的過程。曲線的長度為

$A[f] = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + [ f'(x) ]^2} \, dx,$

其中

$f'(x) = \frac{df}{dx}, \,$

f (x 1) = y 1

f (x 2) = y 2 .

函數f 至少需為一階可微的函數。若 $f 0$ 是一個局部最小值，而 $f 1$ 是一個在端點 $x 1$ 及 $x 2$ 的至少有一階導數的函數，則可得到以下的式子

$A[f_0] \le A[f_0 + \epsilon f_1]$

其中 ε 為任意接近 0 的數字。

因此 $A [f 0 + ε f 1]$ 對 ε 的導數( A 的一階導數 ) 在 ε=0 時必為 0。對任何的函數 $f 1$ ，下式均成立：

$\int_{x_1}^{x_2} \frac{ f_0'(x) f_1'(x) } {\sqrt{1 + [ f_0'(x) ]^2}}dx =0, \,$

此條件可視為在可微分函數的空間中， $A [f 0]$ 在各方向的導數均為 0。若假設 $f 0$ 二階可微(或至少弱微分存在)，則利用分部積分法可得

$\int_{x_1}^{x_2} f_1(x) \frac{d}{dx}\left[ \frac{ f_0'(x) } {\sqrt{1 + [ f_0'(x) ]^2}} \right] \, dx =0,$

其中 $f 1$ 為在兩端點二階導數皆為 0 的任意函數。這是變分法基本引理的一個特例:

$I =\int_{x_1}^{x_2} f_1(x) H(x) dx =0, \,$

其中 $f 1$ 為在兩端點一階導數皆為 0 的任意函數。

若存在 $x = \hat x$ 使 $H (x) > 0$ ，則在 $\hat x$ 周圍有一區間的 H 也是正值。可以選擇 $f 1$ 在此區間外為 0，在此區間內為非負值，因此 $I > 0$ ，和前提不合。若存在 $x = \hat x$ 使 $H (x) < 0$ ，也可證得類似的結果。因此可得到以下的結論：

$\frac{d}{dx}\left[ \frac{ f_0'(x) } {\sqrt{1 + [ f_0'(x) ]^2}} \right] =0\,$

由結論可推得下式：

$\frac{d^2 f_0}{dx^2}=0,$

因此兩點間最短曲線為一直線。

在一般情形下，則需考慮以下的計算式

$A[f] = \int_{x_1}^{x_2} L(x,f,f') dx \,$

其中 f 需有二階連續的導函數。在這種情形下，極值　 $f 0$ 會滿足欧拉-拉格朗日方程

$-\frac{d}{dx} \frac{\part L}{\part f'} + \frac{\part L}{\part f}=0\,$

不過在此處，欧拉-拉格朗日方程只是有極值的必要條件，並不是充分條件。

[编辑] du Bois Raymond定理

[编辑] 費馬原理

費馬原理指出：光會延著兩端點之間所需光程最短的路徑前進。假設 $\! y=f(x)$ 為光的路徑，則光程可以下式表示：

$A[f] = \int_{x=x_0}^{x_1} n(x,f(x)) \sqrt{1 + f'(x)^2} dx, \,$

其中折射率 $\! n(x,y)$ 依材料特性而定。

若選擇 $\! f(x) = f_0 (x) + \epsilon f_1 (x)$ ，則 A 的一階導數 (A 對 $ε$ 的微分) 為：

$\delta A[f_0,f_1] = \int_{x=x_0}^{x_1} \left[ \frac{ n(x,f_0) f_0'(x) f_1'(x)}{\sqrt{1 + f_0'(x)^2}} + n_y (x,f_0) f_1 \right] dx \,$

將括號中的第一項用分部積分處理，可得歐拉-拉格朗日方程

$-\frac{d}{dx} \left[\frac{ n(x,f_0) f_0'}{\sqrt{1 + f_0'^2}} \right] + n_y (x,f_0) =0. \,$

光線的路徑可由上述的積分式而得。

[编辑] 斯涅爾定律

[编辑] 費馬原理在三維下的形式

[编辑] 和波動方程的關係

最优控制的理论是变分法的一个推广

[编辑] 参看

[编辑] 参考

Fomin, S.V. and Gelfand, I.M.: Calculus of Variations, Dover Publ., 2000
Lebedev, L.P. and Cloud, M.J.: The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics, World Scientific, 2003, pages 1-98
Charles Fox: An Introduction to the Calculus of Variations, Dover Publ., 1987
Forsyth, A.R.: Calculus of Variations, Dover, 1960
Sagan, Hans: Introduction to the Calculus of Variations, Dover, 1992
Weinstock, Robert: Calculus of Variations with Applications to Physics and Engineering, Dover, 1974
Clegg, J.C.: Calculus of Variations, Interscience Publishers Inc., 1968
Elsgolc, L.E.: Calculus of Variations, Pergamon Press Ltd., 1962