变分法
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变分法是处理函数的函数的数学领域,和处理数的函数的普通微积分相对。譬如,这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数:它们使得泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达:一个例子是最速降线,在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。
变分法的关键定理是欧拉-拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时,在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值(或者都不是)。
变分法在理论物理中非常重要:在拉格朗日力学中,以及在最小作用原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础,它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有,黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。
同样的材料可以出现在不同的标题中,例如希尔伯特空间技术,摩尔斯理论,或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面(肥皂泡)上也有很多研究工作,称为Plateau问题。
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[编辑] 欧拉-拉格朗日方程(The Euler-Lagrange equation)
在理想情形下,一函數的最大值及最小值會出現在其導數為0的地方。同樣地,求解變分問題時也可以先求解相關的欧拉-拉格朗日方程。以下以尋找連接平面上兩點(x1,y1) and (x2,y2)最短曲線的例子,說明求解的過程。曲線的長度為
其中
f(x1) = y1, f(x2) = y2.
函數f 至少需為一階可微的函數。若 f0 是一個局部最小值,而 f1 是一個在端點 x1 及 x2 取值为零并且至少有一階導數的函數,則可得到以下的式子
其中 ε 為任意接近 0 的數字。
因此 A[f0 + εf1] 對 ε 的導數( A 的一階導數 ) 在 ε=0 時必為 0。對任何的函數 f1,下式均成立:
![\int_{x_1}^{x_2} \frac{ f_0'(x) f_1'(x) } {\sqrt{1 + [ f_0'(x) ]^2}}dx =0, \,](http://upload.wikimedia.org/math/8/5/d/85d4611ec34f496b2259e184e21be939.png)
此條件可視為在可微分函數的空間中,A[f0] 在各方向的導數均為 0。 若假設 f0 二階可微(或至少弱微分存在),則利用分部積分法可得
其中 f1 為在兩端點皆為 0 的任意二階可微函數。這是變分法基本引理的一個特例:
其中 f1 為在兩端點皆為 0 的任意可微函數。
若存在
使 H(x) > 0,則在
周圍有一區間的 H 也是正值。可以選擇 f1 在此區間外為 0,在此區間內為非負值,因此 I > 0,和前提不合。 若存在
使 H(x) < 0,也可證得類似的結果。因此可得到以下的結論:
由結論可推得下式:
因此兩點間最短曲線為一直線。
在一般情形下,則需考慮以下的計算式
其中 f 需有二階連續的導函數。在這種情形下,拉格朗日量L在極值 f0 处滿足欧拉-拉格朗日方程
不過在此處,欧拉-拉格朗日方程只是有極值的必要條件,並不是充分條件。
[编辑] 費馬原理
費馬原理指出:光會延著兩端點之間所需光程最短的路徑前進。假設
為光的路徑,則光程可以下式表示:
其中折射率
依材料特性而定。
若選擇
,則 A 的一階導數 (A 對 ε 的微分) 為:
將括號中的第一項用分部積分處理,可得歐拉-拉格朗日方程
光線的路徑可由上述的積分式而得。
[编辑] 斯涅爾定律
當光進入或離開透鏡面時,折射率會有不連續的變化。考慮
其中 n − 和 n + 是常數。在x<0或x>0的區域,歐拉-拉格朗日方程均和以上描述的相同。因為折射率在二個區域均為定值,在二個區域光都以直線前進。而在x=0的位置,f必須連續,不過f' 可以不連續。在上述二個區域用分部積分的方式解歐拉-拉格朗日方程,則其變分量為
和n − 相乘的係數是入射角的正弦值,和n + 相乘的係數則是折射角的正弦值。若依照斯涅爾定律,上述二項的乘積相等,因此上述的變分量為 0。因此斯涅爾定律所得的路徑也就是要求光程一階變分量為 0 的路徑。
[编辑] 費馬原理在三維下的形式
費馬原理可以用向量的形式表示:令X = (x1,x2,x3), 而t為其參數, X(t)是曲線C參數化的表示, 而令
為其法線向量。因此在曲線上的光程長為
上述積分和 t 無關,因此也和C的參數表示方式無關。使曲線最短的歐拉-拉格朗日方程有以下的對稱形式
其中
依 P 的定義可得下式
因此上述積分可改為下式
依照上式,若可以找到一個梯度 P的函數 ψ,則以上的積分A就可以由在積分端點上 ψ 的差求得。以上求解曲線使積分量不變的問題就和 ψ 的 level surface 有關。為了要找到滿足此條件的函數 ψ,需要對控制光線傳動的波動方程式進行進一步的研究。
[编辑] 和波動方程的關係
最优控制的理论是变分法的一个推广
[编辑] 参看
[编辑] 参考
- Fomin, S.V. and Gelfand, I.M.: Calculus of Variations, Dover Publ., 2000
- Lebedev, L.P. and Cloud, M.J.: The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics, World Scientific, 2003, pages 1-98
- Charles Fox: An Introduction to the Calculus of Variations, Dover Publ., 1987
- Forsyth, A.R.: Calculus of Variations, Dover, 1960
- Sagan, Hans: Introduction to the Calculus of Variations, Dover, 1992
- Weinstock, Robert: Calculus of Variations with Applications to Physics and Engineering, Dover, 1974
- Clegg, J.C.: Calculus of Variations, Interscience Publishers Inc., 1968
- Elsgolc, L.E.: Calculus of Variations, Pergamon Press Ltd., 1962
[编辑] 外部连接
- Chapter III: Introduction to the calculus of variations by Johan Byström, Lars-Erik Persson, and Fredrik Strömberg
- PlanetMath.org: Calculus of variations
- Wolfram Research's MathWorld: Calculus of Variations
- Example problems in the calculus of variations
![A[f] = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + [ f'(x) ]^2} \, dx,](http://upload.wikimedia.org/math/6/f/e/6feb16a2b3bd7bbc98cbedfa6f84549c.png)
![A[f_0] \le A[f_0 + \epsilon f_1]](http://upload.wikimedia.org/math/a/7/0/a7052a0ee93787a7fa54f9f4361b71c5.png)
![\int_{x_1}^{x_2} f_1(x) \frac{d}{dx}\left[ \frac{ f_0'(x) } {\sqrt{1 + [ f_0'(x) ]^2}} \right] \, dx =0,](http://upload.wikimedia.org/math/e/f/c/efcd780782af5551512d32e5a596bb6a.png)

![\frac{d}{dx}\left[ \frac{ f_0'(x) } {\sqrt{1 + [ f_0'(x) ]^2}} \right] =0\,](http://upload.wikimedia.org/math/b/0/1/b019acdc63d2d789663541fe3cfbbd73.png)

![A[f] = \int_{x_1}^{x_2} L(x,f,f') dx \,](http://upload.wikimedia.org/math/7/a/7/7a7cef958584ad66bff528573be424f0.png)

![A[f] = \int_{x=x_0}^{x_1} n(x,f(x)) \sqrt{1 + f'(x)^2} dx, \,](http://upload.wikimedia.org/math/5/8/0/580d42c14a54cbffb03a5c8b8ed46f5e.png)
![\delta A[f_0,f_1] = \int_{x=x_0}^{x_1} \left[ \frac{ n(x,f_0) f_0'(x) f_1'(x)}{\sqrt{1 + f_0'(x)^2}} + n_y (x,f_0) f_1 \right] dx \,](http://upload.wikimedia.org/math/a/c/4/ac48e43737392c12ee047012226778e5.png)
![-\frac{d}{dx} \left[\frac{ n(x,f_0) f_0'}{\sqrt{1 + f_0'^2}} \right] + n_y (x,f_0) =0. \,](http://upload.wikimedia.org/math/4/8/e/48ea28e9766111db2285d6763cb803fd.png)


![\delta A[f_0,f_1] = f_1(0)\left[ n_-\frac{f_0'(0_-)}{\sqrt{1 + f_0'(0_-)^2}} -n_+\frac{f_0'(0_+)}{\sqrt{1 + f_0'(0_+)^2}} \right].\,](http://upload.wikimedia.org/math/8/e/b/8eb9b456a6f9c829395137dbd35c14ad.png)
![A[C] = \int_{t=t_0}^{t_1} n(X) \sqrt{ \dot X \cdot \dot X} dt. \,](http://upload.wikimedia.org/math/c/5/5/c551e541c87a4a9d1e3e9987e4fe1f88.png)



![A[C] = \int_{t=t_0}^{t_1} P \cdot \dot X \, dt.\,](http://upload.wikimedia.org/math/c/8/3/c83e30cdfc936db5d5e1bc007868b9c2.png)

