狄利克雷原理

在数学中的位势论里，狄利克雷原理是关于在 $\mathbb{R}^n$ 中的某个区域 $\Omega$ 上的泊松方程

$\Delta u + f = 0\,$

满足边界条件

在 $\partial\Omega$ 上 $u=g \,$

的解 u(x) 的刻画。原理说明，u(x) 是使得狄利克雷势能

$E[v] = \int_\Omega \left(\frac{1}{2}|\nabla v|^2 - vf\right)\,\mathrm{d}x$

最小的几乎处处二次可导，并且在边界 $\partial\Omega$ 上满足 $v=g$ 的函数 $v$（如果至少存在一个函数使得以上的积分成立的话）。这个原理得名于德国数学家勒热纳·狄利克雷。

由于以上的狄利克雷积分是下有界的，因此必然存在一个下确界。黎曼和其他的数学家都认为下确界一定能够达到，直到外尔斯特拉斯举出了一个无法达到下确界的泛函的例子。后来希尔伯特严格证明了黎曼对狄利克雷原理的使用之正当性。

证明

以下给出 $g=0$ 时的证明。假设 u 是使得

$E[v] = \int_\Omega \left(\frac{1}{2}|\nabla v|^2 - vf\right)\,\mathrm{d}x$

最小的并且几乎处处二次可导，并且在边界$\partial\Omega$上满足$v=0$的函数$v$，那么对于任意一个满足边界条件的函数 $w$，任意正实数$\varepsilon$都有：

$E[u+\varepsilon w] = \int_\Omega \left(\frac{1}{2}|\nabla u + \varepsilon \nabla w|^2 - uf - \varepsilon w f\right)\,\mathrm{d}x \geqslant \int_\Omega \left(\frac{1}{2}|\nabla u|^2 - uf\right)\,\mathrm{d}x$

即

$\int_\Omega \left(\varepsilon \nabla u \cdot \nabla w + \frac{1}{2} \varepsilon^2 | \nabla w|^2 - \varepsilon w f\right)\,\mathrm{d}x \geqslant 0$

上式左侧是一个关于$\varepsilon$的二次多项式，并且在 $\varepsilon =0$ 的时候取到最小值，所以有：

$\int_\Omega \left(\nabla u \cdot \nabla w - w f\right)\,\mathrm{d}x = 0$

另一方面，由于函数 $w$ 满足边界条件，即在 $\partial\Omega$ 上满足 $w=0$，因此有：

$\begin{align} 0 &= \int_{\partial\Omega} w \left( \nabla u \cdot \mathbf{n} \right)\,\mathrm{d}\sigma = \int_{\Omega} \operatorname{div} \left( w \cdot \nabla u \right)\,\mathrm{d}x \\ &= \int_{\Omega} \left( w \Delta u + \nabla u \cdot \nabla w \right)\,\mathrm{d}x = \int_{\Omega} w \left( \Delta u + f \right)\,\mathrm{d}x \end{align}$

这个结果对所有满足边界条件的函数 $w$ 都成立，因此根据變分法基本引理，可以得到$\Delta u + f = 0$

参见

• 普拉托问题
• 格林第一公式

参考来源

• Courant, R., Dirichlet's Principle, Conformal Mapping, and Minimal Surfaces. Appendix by M. Schiffer, Interscience. 1950 
• Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society. 1998, ISBN 978-0821807729 
• 埃里克·韦斯坦因, Dirichlet's Principle at MathWorld