狄利克雷原理

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数学中的位势论里,狄利克雷原理是关于在 \mathbb{R}^n 中的某个区域 \Omega 上的泊松方程

\Delta u + f = 0\,

满足边界条件

 \partial\Omega u=g \,

的解 u(x) 的刻画。原理说明,u(x) 是使得狄利克雷势能

E[v] = \int_\Omega \left(\frac{1}{2}|\nabla v|^2 - vf\right)\,\mathrm{d}x

最小的几乎处处二次可导,并且在边界 \partial\Omega 上满足 v=g 的函数 v(如果至少存在一个函数使得以上的积分成立的话)。这个原理得名于德国数学家勒热纳·狄利克雷

由于以上的狄利克雷积分是下有界的,因此必然存在一个下确界黎曼和其他的数学家都认为下确界一定能够达到,直到外尔斯特拉斯举出了一个无法达到下确界的泛函的例子。后来希尔伯特严格证明了黎曼对狄利克雷原理的使用之正当性。

证明[编辑]

以下给出 g=0 时的证明[1]。假设 u 是使得

E[v] = \int_\Omega \left(\frac{1}{2}|\nabla v|^2 - vf\right)\,\mathrm{d}x

最小的并且几乎处处二次可导,并且在边界\partial\Omega上满足v=0的函数v,那么对于任意一个满足边界条件的函数 w,任意正实数\varepsilon 都有:

E[u+\varepsilon w] = \int_\Omega \left(\frac{1}{2}|\nabla u + \varepsilon  \nabla w|^2 - uf - \varepsilon w f\right)\,\mathrm{d}x \geqslant  \int_\Omega \left(\frac{1}{2}|\nabla u|^2 - uf\right)\,\mathrm{d}x

 \int_\Omega \left(\varepsilon \nabla u \cdot \nabla w + \frac{1}{2} \varepsilon^2 | \nabla w|^2 - \varepsilon w f\right)\,\mathrm{d}x \geqslant 0

上式左侧是一个关于\varepsilon 的二次多项式,并且在 \varepsilon =0 的时候取到最小值,所以有:

 \int_\Omega \left(\nabla u \cdot \nabla w - w f\right)\,\mathrm{d}x = 0


另一方面,由于函数 w 满足边界条件,即在 \partial\Omega 上满足 w=0,因此有:

\begin{align}
 0 &= \int_{\partial\Omega} w \left( \nabla u \cdot \mathbf{n} \right)\,\mathrm{d}\sigma  = \int_{\Omega} \operatorname{div} \left( w \cdot  \nabla u \right)\,\mathrm{d}x \\
&=  \int_{\Omega} \left( w \Delta u +  \nabla u \cdot  \nabla w \right)\,\mathrm{d}x  =  \int_{\Omega}  w \left( \Delta u + f  \right)\,\mathrm{d}x  
\end{align}


这个结果对所有满足边界条件的函数 w 都成立,因此根据變分法基本引理,可以得到 \Delta u + f = 0

参见[编辑]

参考来源[编辑]

  1. ^ Mark.A.Prinsky. Partial Differential Equations and Boundary Value Problems With Applications. Waveland Pr Inc. 2003. ISBN 978-1577662754.