變分法基本引理
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在變分法裏,變分法基本引理是一個引理,專門地轉換問題的表述,從弱版表述(變分形式)改為強版表述(微分形式)。
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[编辑] 定義
變分法基本引理闡述,假設
是一個在區間
的平滑函数,對於每一個函數
,
,
而且,
;
那麼,在區間
內,
恆等於 0 。
[编辑] 證明
如果
是一個滿足假設的函數。讓
為任何平滑函数:
;在
內,
。例如,
。讓
。很明確地,
滿足假設。所以,
。
但是,被積分函數不是負值,所以,必須恆等於零。又因為
在
是正值,所以,
也必須恆等於 0 。所以,在區域
內,
。
[编辑] 應用
這引理可用來證明泛函
的極值是歐拉-拉格朗日方程式的弱解,
。
[编辑] 參閱
[编辑] 參考文獻
- Leitmann, George(1981).The Calculus of Variations and Optimal Control: An Introduction.Springer.ISBN 0306407078.
![J[f(t,y,\dot y)] = \int_{x_0}^{x_1} f(t,y,\dot y) \, dt \,\!](http://upload.wikimedia.org/math/0/b/7/0b739618043e7028f3efb85098149c9c.png)

