位势论

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位勢論是數學的一支，它可以定義為調和函數的研究。

[编辑] 定义和评论

“位势论”一词的来源在于，在19世纪的物理学中，自然界的基本力被相信为从满足拉普拉斯方程的位势导出。因此，位势论研究可以作为位势的函数。今天，我们知道自然界更为复杂——表述力的方程可以是诸如爱因斯坦场方程或者杨－米尔斯方程这样的非线性偏微分方程的系统，而拉普拉斯方程只是在受限情况下的近似。但是，“位势论”一词还是保留了作为对满足拉普拉斯方程的函数的研究的方便叫法。

很显然，位势论和拉普拉斯方程的理论有很大程度的重叠。这个程度是：可能可以在两个领域划分一个区别，区别在于重点而不是主题，并且主要在于下列区别——位势论注重函数的性质而不是方程的性质。例如，调和函数的奇点的一个结果可说属于位势论；而关于解如何依赖于边界条件的一个结果，却是拉普拉斯方程理论。当然，这不是一个严格和显然的区别，实践上两个领域有很大交互，它们的结果和方法相互为用。

[编辑] 對稱性

調和函數的研究有個基本而有用的原理，就是拉普拉斯方程的對稱性。首先注意到拉普拉斯方程是線性的（不過這並非尋常意義下的對稱），這意謂位勢論的基本對象是由函數組成的線性空間，我們將在後面章節看到它的重要性。

就通常所謂的「對稱」來說，我們可以從下述定理起步：n 維拉普拉斯方程的對稱群恰好是 n 維歐氏空間的共形映射群，簡稱共形群。從此得到幾個推論：

考慮共形群或其子群（例如旋轉或平移子群）的不可約表示，藉此能有系統地得到拉普拉斯方程的分離變數解，諸如球面調和函數或傅立葉級數解。從這些解的線性疊加能得到一大類調和函數，可證明它們構成調和函數空間裡的一個稠密子空間（在適當的拓撲結構下）。
可以從共形對稱性理解一些經典的技巧與方法，諸如克爾文變換或鏡像法。
我們能用共形變換將一個區域裡的調和函數拉回成另一區域裡的調和函數。最常見的例子是單位圓盤與上半平面的共形等價性。
利用共形對稱性，可以將調和函數的定義推廣到共形平坦（即：透過一個共形映射同構於平坦空間）的黎曼流形。最單純的例子也許是將 $\mathbb{R}^n$ 上的調和函數（容許帶有離散奇點）視作 $\mathbb{S}^n$ 上的調和函數。至於較複雜的情形，以下舉兩個例子。首先我們將一個多值調和函數看作是 $\mathbb{R}^n$ 的某個分支覆蓋上的單值調和函數，從而建立高維的黎曼曲面論；或者，我們可以將在共形群的一個離散子群下不變的調和函數視作 orbifold 上的函數。

[编辑] 二維的情形

由於二維的共形變換群本身是無窮維，而在三維以上則是有限維的，我們可以猜測位勢論在二維與在三維以上的性質迥異。的確如此；事實上，任何二維調和函數都是一個全純函數的實部，因此二維位勢論本質上不外是單變數的複分析。

因此，當人們談到位勢論，通常都將焦點集中在那些對三維以上成立的定理。讓人驚奇的是許多來自複分析的定理與概念（例如施瓦茲定理、莫雷拉定理、魏爾施特拉斯-卡索拉蒂定理以及奇點的相關理論等等）可在高維中推廣，我們可以藉此感覺到哪些是一般理論的特例，而哪些又是單變數複分析獨有的結果。

[编辑] 局部行為

位勢論的重要課題之一是調和函數的局部行為，其中最基本的也許是拉普拉斯方程的正則性定理，此定理斷言調和函數是解析函數。也有些結果是描述調和函數的等位面之局部結構，例如 Bôcher 定理，它描述正調和函數的孤立奇點。如前一節所述，調和函數的孤立奇點可分類為可去除奇點、極點與本性奇點。

[编辑] 不等式

研究調和函數的一種卓有成效的辦法是研究它們滿足的不等式，其中最基本者當屬極大值原理，由此可推出大多數其它不等式。另一個重要結果是劉維爾定理，它斷言定義在整個 $\mathbb{R}^n$ 上的有界調和函數必為常數函數。除此之外，還有柯西估計、Harnack 不等式與施瓦茨引理等幾個重要的不等式。

這些不等式的重要應用之一是研究一族調和函數或次調和函數的極限，這些收斂定理往往可用來證明存在滿足某些特殊性質的調和函數。

[编辑] 函數空間

由於拉普拉斯方程是線性的，定域上的調和函數集構成一個向量空間。藉著賦予適宜的範數與（或）內積，可進一步賦予希爾伯特空間或巴拿赫空間的結構。藉此可得到哈代空間、布洛赫空間與柏格曼空間。

[编辑] 參考

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Thomas Ransford Potential theory in modern function theory, Cambridge university press

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