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范数

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擁有不同範數的單位圓

範數,是具有“长度”概念的函數。在線性代數泛函分析及相關的數學領域,是一個函數,其為向量空間內的所有向量賦予非零的正長度大小。半範數反而可以為非零的向量賦予零長度。

舉一個簡單的例子,一個二維度的歐氏幾何空間\R^2就有歐氏範數。在這個向量空間(譬如:(3,7))的元素常常在笛卡兒座標系統被畫成一個從原點出發的箭號。每一個向量的歐氏範數就是箭號的長度。

擁有範數的向量空間就是賦範向量空間。同樣,擁有半範數的向量空間就是賦半範向量空間。

定義[编辑]

假設V是域F上的向量空間V半範數是一個函數p:V\to\mathbb{R}; x\mapsto{}p(x),满足:

\forall a \in F,\forall u,v \in V,

  1. p(v) \ge 0 (正值性)
  2. p(a v) = |a| p(v)(正值齊次性)
  3. p(u + v) \le p(u) + p(v)三角不等式

範數是一個半範數加上額外性质:

4. p(v)=0,当且仅当v零向量正定性

如果拓撲向量空間的拓撲可以被範數導出,這個拓撲向量空間被稱為賦範向量空間

例子[编辑]

  • 所有范数都是半范数。
  • 平凡半范数,即p(x) = 0, \forall x \in V
  • 绝对值实数集上的一个范数。
  • 对向量空间上的线性型f可定义一个半范数:x → |f(x)|。

欧几里德范数[编辑]

n欧几里德空间Rn上,向量x =(x1, x2, ..., xn)的最符合直觉的长度由以下公式给出

\|\boldsymbol{x}\| := \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}.

根据勾股定理,它给出了从原点到点x之间的(通常意义下的)距离。 欧几里德范数是Rn上最常用的范数,但正如下面举出的,Rn上也可以定义其他的范数。然而,以下定义的范数都定义了同一个拓扑结构,因此它们在某种意义上都是等价的。

在一个n维复数空间Cn中,最常见的范数是:

\|\boldsymbol{z}\| := \sqrt{|z_1|^2 + \cdots + |z_n|^2}= \sqrt{z_1 \bar z_1 + \cdots + z_n \bar z_n}.

以上两者又可以以向量与其自身的内积平方根表示:

\|\boldsymbol{x}\| := \sqrt{\boldsymbol{x}^* \boldsymbol{x}},

其中x是一个列向量([x1; x2; ...; xn]),而x*表示其共轭转置

以上公式适用于任何内积空间,包括欧式空间和复空间。在欧几里得空间里,内积等价于点积,因此公式可以写成以下形式:

\|\boldsymbol{x}\| := \sqrt{\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{x}}.

特别地,Rn+1中所有的欧几里得范数为同一个给定正实数的向量的集合是一个n维球面

复数的欧几里得范数[编辑]

如果将复平面看作欧几里得平面R2,那么复数的欧几里得范数是其绝对值(又称为)。这样,我们可把x + iy视为欧几里得平面上的一个向量,由此,这个向量的欧几里得范数即为\sqrt{x^2 +y^2}(最初由欧拉提出)。

參見[编辑]