范数

擁有不同範數的單位圓

範數，是具有“长度”概念的函數。在線性代數、泛函分析及相關的數學領域，是一個函數，其為向量空間內的所有向量賦予非零的正長度或大小。半範數反而可以為非零的向量賦予零長度。

舉一個簡單的例子，一個二維度的歐氏幾何空間 $\R^2$ 就有歐氏範數。在這個向量空間（譬如：(3,7)）的元素常常在笛卡兒座標系統被畫成一個從原點出發的箭號。每一個向量的歐氏範數就是箭號的長度。

擁有範數的向量空間就是賦範向量空間。同樣，擁有半範數的向量空間就是賦半範向量空間。

[编辑] 定義

假設V是域F上的向量空間；V的半範數是一個函數 $p:V\to\mathbb{R}; x\mapsto{}p(x)$ ，满足:

$\forall a \in F,\forall u,v \in V$ ,

範數是一個半範數加上額外性质:

4. $p(v)=0$ ,当且仅当 $v$ 是零向量 (正定性)

如果拓撲向量空間的拓撲可以被範數導出，這個拓撲向量空間被稱為賦範向量空間。

在n维欧几里德空间 Rⁿ上，向量x = (x₁, x₂, ..., x_n)的最符合直觉的长度由以下公式给出

$\|\boldsymbol{x}\| := \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}.$

根据勾股定理，它给出了从原点到点x之间的（通常意义下的）距离。欧几里德范数是Rⁿ上最常用的范数，但正如下面举出的，Rⁿ上也可以定义其他的范数。然而，以下定义的范数都定义了同一个拓扑结构，因此它们在某种意义上都是等价的。

在一个n维复数空间Cⁿ中，最常见的范数是：

$\|\boldsymbol{z}\| := \sqrt{|z_1|^2 + \cdots + |z_n|^2}= \sqrt{z_1 \bar z_1 + \cdots + z_n \bar z_n}.$

以上两者又可以以向量与其自身的内积的平方根表示：

$\|\boldsymbol{x}\| := \sqrt{\boldsymbol{x}^* \boldsymbol{x}},$

其中 x是一个列向量([x₁; x₂; ...; x_n])，而x*表示其共轭转置。

以上公式适用于任何内积空间，包括欧式空间和复空间。在欧几里得空间里，内积等价于点积，因此公式可以写成以下形式：

$\|\boldsymbol{x}\| := \sqrt{\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{x}}.$

特别地，Rⁿ⁺¹中所有的欧几里得范数为同一个给定正实数的向量的集合是一个n维球面。

如果将复平面看作欧几里得平面R²，那么复数的欧几里得范数是其绝对值（又称为模）。这样，我们可把x + iy视为欧几里得平面上的一个向量，由此，这个向量的欧几里得范数即为 $\sqrt{x^2 +y^2}$ (最初由欧拉提出)。