平方根

函數 $f(x) = \sqrt x$圖，半拋物線與垂直準線。

对于非負實數x来说，平方根，是指自乘結果等於x的實數，表示為±$\sqrt x$（√x），讀作正负根號下x或x的平方根。其中的非负的平方根称为算术平方根。正整數的平方根通常是無理數。

$\sqrt x$可由下式唯一定義：

$\sqrt x^{2} = x, \sqrt x \geq 0$

在分數指數中，我們有：

$\sqrt x = x^{\frac{1}{2}}$

依定義，可知開平方運算對乘法滿足分配律，即：

$\sqrt{xy} = \sqrt x \sqrt y$

注意若n是非負實數且

x² = n

時，

x未必等於$\sqrt{n}$ 。

因為$\sqrt{n}$必定是正數，但x² = n有正負兩個解。 x應等於±$\sqrt{n}$；即$\left|x\right| = \sqrt{x^2}$(見絕對值)。

根號2

數學史中，最重要的平方根可以說是$\sqrt{2}$，它代表單位正方形的對角線長，是第一個公認的無理數。

$\sqrt{2}$是無理數，可由歸謬法證明：

1. 設$\sqrt{2}$為有理數，可表示為${\frac{p}{q}}$，其中p、q為互質之正整數。
2. 因為$\sqrt{2}^2 = {\frac{p^2}{q^2}} = 2$，故 p² 是2的倍數，p也是2的倍數，記為2k，其中k為正整數。
3. 但是 2q² = p² = 4k² ，故 q² = 2k² ， q² 是2的倍數，q也是2的倍數。
4. 依上兩式，p、q都是2的倍數，和p、q為互質之正整數的前題矛盾。依歸謬法，得證$\sqrt{2}$不是有理數，即$\sqrt{2}$是無理數。

符號的演變

古代未有劃一的平方根符號時，人們通常使用他們語言內開方這個字的首個字母的變型作為開方號。

拉丁語中的latus(正方形邊)的首個字母l亦受不少中世紀的歐洲人採用；亨利·布里格斯在其著作Arithmetica Logarithmica則用橫線當成latus的簡寫，在要被開方的數下畫一線。

最有影響的是拉丁語的radix（平方根），1220年Leconardo在Practica geometriae使用R（R右下角的有一斜劃，像P和x的合體）；$\sqrt {}$（沒有上面的橫劃）是由克里斯多福·魯登道夫在1525年的書Coss首次使用，據說是小楷 r 的變型；現今常用的$\sqrt {n}$是由笛卡兒在幾何中先用的。

虛數的情況

对于任何一个非零的复数z都存在两个数w使得w² = z。 $\sqrt{z}$通常定义如下：如果z = rexp(iφ) （其中 $- \pi < \varphi \le \pi$ ），则$\sqrt{z} = \sqrt{r} \exp(i\varphi/2)$ 。 因此，平方根函数除了在非正实数轴上以外是处处全纯的。$\sqrt{1+x}$的泰勒级数也适用于复数x （|x| < 1）。

如果一个复数是x + iy的形式，则可以使用以下公式计算平方根：

$\sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\left|x+iy\right| + x}{2}} \pm i \sqrt{\frac{\left|x+iy\right| - x}{2}}$

因為在虛數裏，平方根函數的值不是連續的，$\sqrt{zw} = \sqrt{z} \sqrt{w}$這條定律不成立。如果這條定律仍可用，就會出現一些錯誤的證明，例如：

$-1 = i \times i = \sqrt{-1} \times \sqrt{-1} = \sqrt{-1 \times -1} = \sqrt{1} = 1$

注意$\sqrt{c^2} = \pm c$，因此$\sqrt{a^2 b^2} = \pm ab$ $\sqrt{zw} = \pm \sqrt{z} \sqrt{w}$，使用 $a = \sqrt{z}$和$b = \sqrt{w}$。

計算方法

中算开方

北宋贾宪增乘开平方法

《九章算术》和《孙子算经》都有筹算的开方法。宋代数学家贾宪发明释锁开平方法、增乘开平方法；明代数学家王素文，程大位发明珠算开平方法，而朱载堉《算学新说》首创用81位算盘开方，精确到25位数字。

長除式算法

這個算法的原理是(a + b)² = a² + b² + 2ab = a² + (2a + b)b。

1. 首先將要開平方根的數從小數點分別向右及向左每兩個位一組分開，如98765.432內小數點前的65是一組，87是一組，9是一組，小數點後的43是一組，之後是單獨一個2，要補一個0 而得20是一組。如1 04.85 73 得四組，順序為 1' 04. 85' 73'。
2. 將最左的一組的數減去最接近又少於它的平方數，並將該平方數的開方（應該是個位數）記下。
3. 將上一步所得之差乘100，和下一組數加起來。
4. 將記下的數乘20，然後將它加上某個個位數，再乘以該個個位數，令這個積不大於上一步所得之差，將上一步所得之差減去所得之積。
5. 重覆第2步，直到找到答案 。
6. 可以在數字的最右補上多組的00'以求得理想的精確度為止。

下面以$\sqrt{200}$為例子：

$\begin{array}{ll} \quad{\color{Red}1}~~{\color{Green}4}.~~{\color{Blue}1}~~{\color{Purple}4}~~{\color{Orange}2}\\ \sqrt{2|00.00|00|00}\\ \quad\underline{1\quad~}&\quad{\color{Red}1}\times{\color{Red}1}\le2\\ \quad1~00&a={\color{Red}1}0,b={\color{Green}4}\\ \quad\underline{~~\,96\quad~}&\quad\Rightarrow(2a+b)b=24\times{\color{Green}4}\le100\\ \qquad~4~00&a={\color{Red}1}{\color{Green}4}0,b={\color{Blue}1}\\ \qquad~\underline{2~81\quad~}&\quad\Rightarrow(2a+b)b=281\times{\color{Blue}1}\le400\\ \qquad~1~19~00&a={\color{Red}1}{\color{Green}4}{\color{Blue}1}0,b={\color{Purple}4}\\ \qquad~\underline{1~12~96\quad~}&\quad\Rightarrow(2a+b)b=2824\times{\color{Purple}4}\le11900\\ \qquad\quad~~6~04~00&a={\color{Red}1}{\color{Green}4}{\color{Blue}1}{\color{Purple}4}0,b={\color{Orange}2}\\ \qquad\quad~~\underline{5~65~64}&\quad\Rightarrow(2a+b)b=28282\times{\color{Orange}2}\le60400\\ \qquad\quad\quad~\,38~36\\ \end{array}$

$\sqrt{200}=14.14213562373095048801668872421$

四捨五入得答案為14.14

事實上，將算法稍作改動，可以開任何次方的根，詳見n次方算法。

牛頓法

如果要求 $S\,(S>1)$ 的平方根，選取 $1\,<\,x_0\,<\,S$

$x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{S}{x_n}\right)$

例子：求 $\sqrt{125348}$ 至 6 位有效數字。

$x_0 = 3^6 = 729.000\,\!$

$x_1 = \frac{1}{2} \left(x_0 + \frac{S}{x_0}\right) = \frac{1}{2} \left(729.000 + \frac{125348}{729.000}\right) = 450.472$

$x_2 = \frac{1}{2} \left(x_1 + \frac{S}{x_1}\right) = \frac{1}{2} \left(450.472 + \frac{125348}{450.472}\right) = 364.365$

$x_3 = \frac{1}{2} \left(x_2 + \frac{S}{x_2}\right) = \frac{1}{2} \left(364.365 + \frac{125348}{364.365}\right) = 354.191$

$x_4 = \frac{1}{2} \left(x_3 + \frac{S}{x_3}\right) = \frac{1}{2} \left(354.191 + \frac{125348}{354.191}\right) = 354.045$

$x_5 = \frac{1}{2} \left(x_4 + \frac{S}{x_4}\right) = \frac{1}{2} \left(354.045 + \frac{125348}{354.045}\right) = 354.045$

因此 $\sqrt{125348} \approx 354.045$.

連分數

平方根可以简便地用连分数的形式表示，关于连分数请见连分数，其中1～20的算术平方根分别可用连分数表示为：
$\sqrt 1=1$
$\sqrt 2$=[1;2,2,2,2…]
$\sqrt 3$=[1;1,2,1,2…]
$\sqrt 4$=2
$\sqrt 5$=[2;4,4,4,4…]
$\sqrt 6$=[2;2,4,2,4…]
$\sqrt 7$=[2;1,1,1,4,1,1,1,4…]
$\sqrt 8$=[2;1,4,1,4…]
$\sqrt 9$=3
$\sqrt 10$=[3;6,6,6,6…]
$\sqrt 11$=[3;3,6,3,6…]
$\sqrt 12$=[3;2,6,2,6…]
$\sqrt 13$=[3;1,1,1,1,6,1,1,1,1,6…]
$\sqrt 14$=[3;1,2,1,6,1,2,1,6…]
$\sqrt 15$=[3;1,6,1,6…]
$\sqrt 16$=4
$\sqrt 17$=[4;8,8,8,8…]
$\sqrt 18$=[4;4,8,4,8…]
$\sqrt 19$=[4;2,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8…]
$\sqrt 20$=[4;2,8,2,8…]

连分数部分均循环，省略号前为2或4个循环节。

重覆的算術運算

這個方法是從佩爾方程演變過來的，它透過不斷減去奇數來求得答案。

尺规作图

問題

給定線段AB和1，求一條長為AB開方的線段。

解法

1. 畫線AB，延長AB至C使AC=1
2. 以BC的中點為圓心，OC為半徑畫圓
3. 過A畫BC的垂直線，垂直線和圓弧交於D，AD即為所求之長度

證明

將整個過程搬到直角座標上，已知AC=1，設

• O=(0,0)
• AB=n

1. 直徑為BC的圓就是$x^2 + y^2 = \left({\frac{n+1}{2}}\right)^2$（圓的方程式: x² + y² = 半徑²）

1. 將(n+1)/2-1（A,D所在的x座標）代入上面的方程式
2. $\left({\frac{n+1}{2}} -1 \right)^2 + y^2 = \left({\frac{n+1}{2}}\right)^2$
3. 解方程，得y=√n

1 至 20 的平方根

利用长式除法可以求平方根。长式除法需要进行加法，减法，乘法，除法等四则运算。一般计算机软件的运算精度小于20位数字，如要计算平方根到100位，四则运算的精度需100位以上。 利用高精度长式除法可以计算出 1 至 20 的 平方根如下：

$\sqrt {1}$	$=\,$	1
$\sqrt {2}$	$\approx$	1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462
$\sqrt {3}$	$\approx$	1.7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909
$\sqrt {4}$	$=\,$	2
$\sqrt {5}$	$\approx$	2.2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638
$\sqrt {6}$	$\approx$	2.4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457
$\sqrt {7}$	$\approx$	2.6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230
$\sqrt {8}$	$\approx$	2.8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924
$\sqrt {9}$	$=\,$	3
$\sqrt {10}$	$\approx$	3.1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639
$\sqrt {11}$	$\approx$	3.3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609
$\sqrt {12}$	$\approx$	3.4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818
$\sqrt {13}$	$\approx$	3.6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293
$\sqrt {14}$	$\approx$	3.7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307
$\sqrt {15}$	$\approx$	3.8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937
$\sqrt {16}$	$=\,$	4
$\sqrt {17}$	$\approx$	4.1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338
$\sqrt {18}$	$\approx$	4.2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386
$\sqrt {19}$	$\approx$	4.3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203
$\sqrt {20}$	$\approx$	4.4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276

其中，有兩數的根號可藉由「口訣」記憶：$\sqrt{2}\approx1.41421$（意思意思而已），$\sqrt{3}\approx1.732$（一妻三兒、一起散熱）。

多项式的平方根

例如：$\sqrt{x^4+2x^2+1}=x^2+1\,\!$

参见

• 方根
• 增乘开平方法
• 二项式定理
• 牛顿法

外部链接

• Earliest Uses of Symbols of Operation（英文）
• The History of Mathematical Symbols: The radical symbol
• 开方公式的推导