2的算術平方根

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无理数
√2 - φ - √3 - √5 - δS - e - π


二進制 1.0110101000001001111...
十進制 1.4142135623730950488...
十六進制 1.6A09E667F3BCC908B2F...
连续分数 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}}

2的算術平方根,俗称“根号2”,记作\sqrt{2},可能是最早被发现的无理数。相传毕达哥拉斯学派希帕索斯首先提出了“\sqrt{2}不是有理数”的命题:若一个直角三角形的两个直角边都是1,那么它的斜边长,无法用整数分数表示。

\sqrt{2}是无理数的证明[编辑]

人們發現了许多方法证明\sqrt{2}是无理数。以下是反證法的證明:

常見的證明[编辑]

  1. 假設\sqrt{2}是有理數,即有整數a_0b_0,使得\frac{a_0}{b_0}=\sqrt{2}
  2. \sqrt{2}重寫成最簡分數\frac{a}{b},即ab互質,且\left(\frac{a}{b}\right)^2=2
  3. 所以\frac{a^2}{b^2} =2,即a^2=2b^2
  4. 因為2b^2必為偶数,故a^2亦是偶数
  5. a為偶数(奇数平方不會是偶数)
  6. 所以必有一整數k,使得a=2k
  7. 將(3)的式子代入(6):2b^2=\left(2k\right)^2
  8. 化简得b^2=2k^2
  9. 因为2k^2是偶数,所以b^2是偶数,b亦是偶数
  10. 所以ab都是偶数,跟\frac{a}{b}是最簡分數的假設矛盾
  11. 因為導出矛盾,所以(1)的假設錯誤,\sqrt{2}不是有理數,即是無理數

這個證明可推廣至證明任何非完全平方數正整數n,其算術平方根\sqrt{n}為無理數。

另一個證明[编辑]

另外一個\sqrt{2}是無理數的反證法證明較少為人所知,但證明方法也相當漂亮:

  1. 假設\sqrt{2}是有理數,便可以表示成最簡分數\frac{m}{n},其中m, n為正整數
  2. \sqrt{2}=\frac{m}{n},可以推導出\sqrt{2}=\frac{(2-\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)}{2-1}=\frac{(2-\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}=\frac{2-\frac{m}{n}}{\frac{m}{n}-1}=\frac{2n-m}{m-n}
  3. 因為\frac{m-n}{n}=\sqrt{2}-1 < 1,所以m - n < n
  4. \frac{2n-m}{m-n}是比\frac{m}{n}更簡的分數,與\frac{m}{n}是最簡分數的假設矛盾

從一個直角邊為n,斜邊為m等腰直角三角形,可以用尺規作圖作出直角邊為m - n,斜邊為2n - m的等腰直角三角形。這是古希臘幾何學家的作圖證明方法。

性质[编辑]

2的算术平方根可以表示为以下的级数无穷乘积

\frac{1}{\sqrt 2} = \prod_{k=0}^\infty
\left(1-\frac{1}{(4k+2)^2}\right) =
\left(1-\frac{1}{4}\right)
\left(1-\frac{1}{36}\right)
\left(1-\frac{1}{100}\right) \cdots
\sqrt{2} =
\prod_{k=0}^\infty
\frac{(4k+2)^2}{(4k+1)(4k+3)} =
\left(\frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3}\right)
\left(\frac{6 \cdot 6}{5 \cdot 7}\right)
\left(\frac{10 \cdot 10}{9 \cdot 11}\right)
\left(\frac{14 \cdot 14}{13 \cdot 15}\right) \cdots
\sqrt{2} =
\prod_{k=0}^\infty
\left(1+\frac{1}{4k+1}\right)
\left(1-\frac{1}{4k+3}\right)
=
\left(1+\frac{1}{1}\right)
\left(1-\frac{1}{3}\right)
\left(1+\frac{1}{5}\right)
\left(1-\frac{1}{7}\right) \cdots.
\frac{1}{\sqrt{2}} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \left(\frac{\pi}{4}\right)^{2k}}{(2k)!}.
\sqrt{2} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^{k+1} \frac{(2k-3)!!}{(2k)!!} =
1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2\cdot4} + \frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6} -
\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6\cdot8} + \cdots.
\sqrt{2} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(2k+1)!}{(k!)^2 2^{3k+1}} = \frac{1}{2} +\frac{3}{8} +
\frac{15}{64} + \frac{35}{256} + \frac{315}{4096} + \frac{693}{16384} + \cdots.

2的算术平方根的连分数展开式为:

 \!\ \sqrt{2} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\ddots}}}}.

增四度减五度的关系[编辑]

增四度减五度十二平均律中的频率比均为2的平方根,而2的平方根则是无理数,也就是说,两条的长度比要是根号2比1的话(例如FB),那么它们就不能被共振,所以增四度减五度均不是协和音程

另外,在十二平均律中,纯四度纯五度也都不怎么和谐,因为长度比已经偏离了原来的4:3和3:2,所以只有频率比仍为1:1的纯一度和2:1的纯八度才是最和谐的。

外部链接[编辑]