刘维尔数

如果一个实数$x$满足，对任意正整数$n$，存在整数$p, q$，其中$q > 1$有

$0 < \left| x - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^{n}}$

就把$x$叫做刘维尔数。

刘维尔在1844年证明了所有刘维尔数都是超越数，第一次说明了超越数的存在。

基本性质

容易证明，刘维尔数一定是无理数。若不然，则$x = \frac{c}{d}, (c, d \in \mathbb{Z}, d > 0)$。 取足够大的$n$使${2^{n-1}} > d$，在$\frac{c}{d} \ne \frac{p}{q}$时有

$\left| x - \frac{p}{q} \right| = \left| \frac{c}{d} - \frac{p}{q} \right| = \left| \frac{cq-dp}{dq} \right| \ge \frac{1}{dq} > \frac{1}{2^{n-1}q} \ge \frac{1}{q^n}$

与定义矛盾。

或者更简单的，取$p = c, q = d$，就有$\left| x - \frac{p}{q} \right| = 0$。

刘维尔常数

即

$c = \sum_{j=1}^\infty 10^{-j!} = 0.110001000000000000000001000\ldots$

这是一个刘维尔数。取

$p_n = \sum_{j=1}^n 10^{n! - j!}, \quad q_n = 10^{n!}$

那么对于所有正整数$n$

$\left|c - \frac{p_n}{q_n}\right| = \sum_{j=n+1}^\infty 10^{-j!} = 10^{-(n+1)!} + 10^{-(n+2)!} + {} \cdots < 10\cdot10^{-(n+1)!} \le \Big(10^{-n!}\Big)^n = \frac{1}{{q_n}^n}.$

超越性

所有刘维尔数都是超越数，但反过来并不对。例如，著名的e和$\pi$就不是刘维尔数。实际上，有不可数多的超越数都不是刘维尔数。

证明

刘维尔定理：若无理数$\alpha$是代数数，即整系数$n$次多项式$f$的根，那么存在实数$A > 0$，对于所有$p, q \in \mathbb{Z}, q > 0$有

$\left\vert \alpha - \frac{p}{q} \right\vert > \frac{A}{q^n}$

证明：令$M = \max \left\{ \left|f'(x)\right| | x \in \left[ \alpha - 1, \alpha + 1 \right] \right\}$，记$f$的其它的不重复的根为 $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_m$，取这样的A

$0 < A < \min \left(1, \frac{1}{M}, \left\vert \alpha - \alpha_1 \right\vert, \left\vert \alpha - \alpha_2 \right\vert, \ldots , \left\vert \alpha-\alpha_m \right\vert \right)$

如果存在使定理不成立的$p, q$，就有

$\left\vert \alpha - \frac{p}{q} \right\vert \le \frac{A}{q^n} \le A< \min\left(1, \frac{1}{M}, \left\vert \alpha - \alpha_1 \right\vert, \left\vert \alpha - \alpha_2 \right\vert, \ldots , \left\vert \alpha-\alpha_m \right\vert \right)$

那么，$p, q \in \left[ \alpha - 1, \alpha + 1 \right] \and \frac{p}{q} \notin \left\{ \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_m \right\}$

据拉格朗日中值定理，存在$\alpha$和$\frac{p}{q}$之间的$x_0$使得

$f(\alpha)-f(p/q) = (\alpha - p/q) \cdot f'(x_0)$

有

$\left\vert (\alpha -p/q)\right\vert = \left\vert f(\alpha)- f(p/q)\right\vert / \left\vert f'(x_0) \right\vert = \left\vert f(p/q) / f'(x_0) \right\vert \,$

$f$是多项式，所以

$\left\vert f(p/q) \right\vert = \left\vert \sum_{i=0}^n c_i p^i q^{-i} \right\vert = \frac{\left\vert \sum_{i=0}^n c_i p^i q^{n-i} \right\vert}{q^n} \ge \frac {1}{q^n}$

由于$\left| f'(x_0) \right| \le M$和$1/M > A$

$\left\vert \alpha - p/q \right\vert = \left\vert f(p/q) / f'(x_0) \right\vert \ge 1/(Mq^n) > A/q^n \ge \left\vert \alpha - p/q \right\vert$

矛盾。

证明刘维尔数是超越数：有刘维尔数$x$，它是无理数，如果它是代数数则

$\exists n \in \mathbb Z, A > 0 \forall p, q \left( \left\vert x - \frac{p}{q} \right\vert > \frac{A}{q^{n}} \right)$

取满足$\frac{1}{2^r} \le A$的正整数$r$，并令$m = r + n$，存在整数$a, b$其中 $b > 1$有

$\left|x-\frac ab\right|<\frac1{b^m}=\frac1{b^{r+n}}=\frac1{b^rb^n} \le \frac1{2^r}\frac1{b^n} \le \frac A{b^n}$

与上式矛盾。故刘维尔数是超越数。

参见

• 丢番图逼近

外部链接

• The Beginning of Transcendental Numbers