刘维尔数

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如果一个实数x满足,对任意正整数n,存在整数p, q,其中q > 1

 0 < \left| x - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^{n}}

就把x叫做刘维尔数

刘维尔在1844年证明了所有刘维尔数都是超越数,第一次说明了超越数的存在。

基本性质[编辑]

容易证明,刘维尔数一定是无理数。若不然,则x = \frac{c}{d}, (c, d \in \mathbb{Z}, d > 0)。 取足够大的n使{2^{n-1}} > d,在 \frac{c}{d} \ne \frac{p}{q} 时有

 \left| x - \frac{p}{q}  \right| = \left| \frac{c}{d} - \frac{p}{q} \right| = \left| \frac{cq-dp}{dq} \right| \ge \frac{1}{dq} > \frac{1}{2^{n-1}q} \ge \frac{1}{q^n}

与定义矛盾。

或者更简单的,取 p = c, q = d ,就有 \left| x - \frac{p}{q} \right| = 0

刘维尔常数[编辑]


c = \sum_{j=1}^\infty 10^{-j!} = 0.110001000000000000000001000\ldots

这是一个刘维尔数。取

 p_n = \sum_{j=1}^n 10^{n! - j!}, \quad q_n = 10^{n!}

那么对于所有正整数n

\left|c - \frac{p_n}{q_n}\right| = \sum_{j=n+1}^\infty 10^{-j!} = 10^{-(n+1)!} + 10^{-(n+2)!} + {} \cdots < 10\cdot10^{-(n+1)!} \le \Big(10^{-n!}\Big)^n = \frac{1}{{q_n}^n}.

超越性[编辑]

所有刘维尔数都是超越数,但反过来并不对。例如,著名的\underline{\color{BlueViolet}\boldsymbol{e}}\underline{\color{BlueViolet}\boldsymbol{\pi}}就不是刘维尔数。实际上,有不可数多的超越数都不是刘维尔数。

证明[编辑]

刘维尔定理:若无理数 \alpha 代数数,即整系数n多项式f的根,那么存在实数A > 0,对于所有 p, q \in \mathbb{Z}, q > 0

  \left\vert \alpha - \frac{p}{q}  \right\vert > \frac{A}{q^n}

证明:令 M = \max \left\{ \left|f'(x)\right| | x \in \left[ \alpha - 1, \alpha + 1 \right] \right\} ,记f的其它的不重复的根为 \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_m,取这样的A

 0 < A < \min \left(1, \frac{1}{M}, \left\vert \alpha - \alpha_1 \right\vert, \left\vert \alpha - \alpha_2 \right\vert, \ldots , \left\vert \alpha-\alpha_m \right\vert \right)

如果存在使定理不成立的p, q,就有

  \left\vert \alpha - \frac{p}{q}  \right\vert \le \frac{A}{q^n} \le A< \min\left(1, \frac{1}{M}, \left\vert \alpha - \alpha_1 \right\vert, \left\vert \alpha - \alpha_2 \right\vert, \ldots , \left\vert \alpha-\alpha_m \right\vert \right)

那么, \frac{p}{q} \in \left[ \alpha - 1, \alpha + 1 \right] \and \frac{p}{q} \notin \left\{ \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_m \right\}

拉格朗日中值定理,存在\alpha\frac{p}{q}之间的x_0使得

f(\alpha)-f(p/q) = (\alpha - p/q) \cdot f'(x_0)

\left\vert (\alpha -p/q)\right\vert = \left\vert f(\alpha)- f(p/q)\right\vert / \left\vert f'(x_0) \right\vert = \left\vert f(p/q) /  f'(x_0) \right\vert \,

f是多项式,所以

\left\vert f(p/q) \right\vert = \left\vert \sum_{i=0}^n c_i p^i q^{-i} \right\vert = \frac{\left\vert \sum_{i=0}^n c_i p^i q^{n-i} \right\vert}{q^n} \ge \frac {1}{q^n}

由于 \left| f'(x_0) \right| \le M  1/M > A

\left\vert \alpha - p/q \right\vert = \left\vert f(p/q) /  f'(x_0) \right\vert \ge 1/(Mq^n) > A/q^n \ge \left\vert \alpha - p/q \right\vert

矛盾。

证明刘维尔数是超越数:有刘维尔数x,它是无理数,如果它是代数数则

 \exists n \in \mathbb Z, A > 0 \forall p, q \left( \left\vert x - \frac{p}{q}  \right\vert > \frac{A}{q^{n}} \right)

取满足 \frac{1}{2^r} \le A 的正整数r,并令 m = r + n ,存在整数 a, b 其中 b > 1

\left|x-\frac ab\right|<\frac1{b^m}=\frac1{b^{r+n}}=\frac1{b^rb^n} \le \frac1{2^r}\frac1{b^n} \le \frac A{b^n}

与上式矛盾。故刘维尔数是超越数。

参见[编辑]

外部链接[编辑]