超越數

各种各样的數

基本

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ 自然數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{N} \end{smallmatrix}$ 整數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z} \end{smallmatrix}$ 二进分数 有限小数 循环小数 有理數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Q} \end{smallmatrix}$ 高斯整数 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[i] \end{smallmatrix}$ 代數數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{A} \end{smallmatrix}$ 實數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{R} \end{smallmatrix}$ 複數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{C} \end{smallmatrix}$ 負數 分数 单位分数 无限小数 规矩数 無理數 超越數 二次无理数 虛數 艾森斯坦整数 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[\omega] \end{smallmatrix}$

延伸

雙複數 四元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{H} \end{smallmatrix}$ 共四元數 八元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{O} \end{smallmatrix}$ 超數 上超實數 超現實數 超複數 十六元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{S} \end{smallmatrix}$ 複四元數 大實數 超實數 $\begin{smallmatrix} {}^\star\mathbb{R} \end{smallmatrix}$

其他

对偶数 雙曲複數 序數 質數 同餘 可計算數 阿列夫数 公稱值 超限數 基數 P進數 規矩數 整數序列 數學常數 圓周率 $\begin{smallmatrix} \pi \end{smallmatrix}$ = 3.141592653… 自然對數的底 $\begin{smallmatrix} e \end{smallmatrix}$ = 2.718281828… 虛數單位 $\begin{smallmatrix} i \end{smallmatrix}$ = $\begin{smallmatrix} +\sqrt{-1} \end{smallmatrix}$ 無窮大 $\begin{smallmatrix} \infty \end{smallmatrix}$

在數論中，超越數是指任何一個不是代數數的无理数。只要它不是任何一個整係數代數方程的根，它即是超越數。最著名的超越數是e以及π。

定義

超越數是代數數的相反，也即是說若$x$是一個超越數，那麼對於任何整數 $a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0$ 都符合：

$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \ne 0$

(其中a_n≠0)

例子

超越數的例子包括：

• 劉維爾（Liouville）常數：$\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!} = 0.110001000000000000000001000\ldots$
  它是第一個確認為超越數的數，是於 1844年劉維爾發現的。
• e
• $e^a \,$，其中$a \,$是除0以外的代數數。
• π（林德曼-魏尔斯特拉斯定理，1882年）（注：因 $\pi \,$ 是超越數而證明尺規作圖中的“化圓為方”的不可實現性）
• e^π
• $2^{\sqrt{2}}$（2的√2次方）。
  更一般地，若 $a \,$ 為零和一以外的任何代數數及$b \,$ 為無理代數數則 $a^b \,$ 必為超越數。這就是格尔丰德-施奈德定理。
• sin $1 \,$
• ln $(a\,)$，其中 $a \,$ 為一不等于1的正有理數。
• W $(a\,)$，其中 $a \,$ 為一正有理數。
• $\Gamma (\frac{1}{3}) \,$ $\left(\approx 2.67894 \right) \,$ ，$\Gamma (\frac{1}{4}) \,$ $\left(\approx 3.62561 \right) \,$及 $\Gamma (\frac{1}{6}) \,$ $\left(\approx 5.56632 \right) \,$（參見伽傌函數）。

所有超越數構成的集是一個不可數集。這暗示超越數遠多於代數數。可是，現今發現的超越數極少，甚至连$\pi + e\,$ 是不是超越数也不知道，因為要證明一個數是超越數或代數數是十分困難的。

超越數的證明，給數學帶來了大的變革，解決了幾千年來數學上的難題——尺規作圖三大問題，即倍立方問題、三等分任意角問題和化圓為方問題。隨著超越數的發現，這三大問題被證明為不可能。

參見

• 多項式
• 無理數
• 代數數
• 林德曼-魏尔斯特拉斯定理