有理数

各种各样的數

基本

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ 自然數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{N} \end{smallmatrix}$ 整數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z} \end{smallmatrix}$ 二进分数 有限小数 循环小数 有理數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Q} \end{smallmatrix}$ 高斯整数 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[i] \end{smallmatrix}$ 代數數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{A} \end{smallmatrix}$ 實數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{R} \end{smallmatrix}$ 複數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{C} \end{smallmatrix}$ 負數 分数 单位分数 无限小数 规矩数 無理數 超越數 二次无理数 虛數 艾森斯坦整数 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[\omega] \end{smallmatrix}$

延伸

雙複數 四元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{H} \end{smallmatrix}$ 共四元數 八元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{O} \end{smallmatrix}$ 超數 上超實數 超現實數 超複數 十六元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{S} \end{smallmatrix}$ 複四元數 大實數 超實數 $\begin{smallmatrix} {}^\star\mathbb{R} \end{smallmatrix}$

其他

对偶数 雙曲複數 序數 質數 同餘 可計算數 阿列夫数 公稱值 超限數 基數 P進數 規矩數 整數序列 數學常數 圓周率 $\begin{smallmatrix} \pi \end{smallmatrix}$ = 3.141592653… 自然對數的底 $\begin{smallmatrix} e \end{smallmatrix}$ = 2.718281828… 虛數單位 $\begin{smallmatrix} i \end{smallmatrix}$ = $\begin{smallmatrix} +\sqrt{-1} \end{smallmatrix}$ 無窮大 $\begin{smallmatrix} \infty \end{smallmatrix}$

数学上，有理数是一个整数a和一個非零整數b的比，例如3/8，通則為a/b，故又稱作分數。希臘文原文為λογος，原意為「成比例的數」，英文取其意，以ratio為字根，在字尾加上-nal產生形容的功能，故全名為rational number。依當前用字習慣，改譯為「可比數」比較適當，並將無理數改譯為「不可比數」。

但並非中文翻譯不恰當。有理數這一概念最早源自西方《幾何原本》，在中國明代，從西方傳入中國，而從中國明代傳入日本時，出現錯誤。

明末數學家徐光啟和學者利瑪竇翻譯《幾何原本》前6卷時的底本是拉丁文。他們將這個詞（即“logos”）譯為“理”，這個“理”指的是“比值”。 日本在明治維新以前，歐美數學典籍的譯本多半采用中國文言文的譯本。日本學者將中國文言文中的“理”直接翻譯成了理，而不是文言文所解釋的“比值”。後來，日本學者直接用錯誤的理解翻譯出了“有理數”和“無理數”。

當 有理數 從日本傳回中國時又延續錯誤。

清末中國派留學生到日本，將此名詞傳回中國，以至現在中日兩國都用“有理數”和“無理數”的說法

可見，由於當年日本學者對中國文言文的理解不到位，才出現了今天的誤譯。

不是有理數的實數遂稱為無理數。

所有有理数的集合表示为Q，Q+,或$\mathbb{Q}$。定义如下：

$\mathbb{Q} = \left\{\frac{m}{n} : m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{Z}, n \ne 0 \right\}$

有理数的小数部分有限或为循环。

运算

有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的。有理数的加法和乘法如下：

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd} \, \ \ \ \ \ \ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$

两个有理数$\frac{a}{b}$和$\frac{c}{d}$相等当且仅当$ad = bc$

有理数中存在加法和乘法的逆：

$- \left( \frac{a}{b} \right) = \frac{-a}{b}\, \ \ \ \ \ \ \ \ a \neq 0$时，$\left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a}$

古埃及分数

古埃及分数是分子为1、分母为正整数的有理数。每个有理数都可以表达为有限个两两不等的古埃及分数的和。例如：

$\frac{5}{7} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{21}$

对于给定的正有理数，存在无穷多种表达成有限个两两不等的古埃及分数之和的方法。

形式构建

数学上可以将有理数定义为建立在整数的有序对上$\left(a, b\right)$的等价类，这里$b$不为零。我们可以对这些有序对定义加法和乘法，规则如下：

$\left(a, b\right) + \left(c, d\right) = \left(ad + bc, bd\right)$

$\left(a, b\right) \times \left(c, d\right) = \left(ac, bd\right)$

为了使$2/4 = 1/2$，定义等价关系$\sim$如下：

$\left(a, b\right) \sim \left(c, d\right) \mbox{ iff } ad = bc$

这种等价关系与上述定义的加法和乘法上是一致的，而且可以将Q定义为整数有序对关于等价关系~的商集：$\mathbb{Q} = \mathbb{Z} \times (\mathbb{Z} - \{0\}) / \sim$。例如：两个对 (a, b)和 (c, d)是相同的，如果它们满足上述等式。（这种构建可用于任何整数环，参见商域。）

Q上的全序关系可以定义为：

$\left(a, b\right) \le \left(c, d\right)$当且仅当

1. $bd > 0$并且$ad \le bc$
2. $bd < 0$并且$ad \ge bc$

性质

有理数集是可数的

集合$\mathbb{Q}$，以及上述的加法和乘法运算，构成域，即整数$\mathbb{Z}$的商域。

有理数是特征为0的域最小的一个：所有其他特征为0的域都包含$\mathbb{Q}$的一个拷贝（即存在一个从$\mathbb{Q}$到其中的同构映射）。

$\mathbb{Q}$的代数闭包，例如有理数多项式的根的域，是代数数域。

所有有理数的集合是可数的，亦即是說$\mathbb{Q}$的基數（或勢）與自然數集合$\mathbb{N}$相同，都是阿列夫數$\aleph_0$。因为所有实数的集合是不可数的，从勒贝格测度来看，可以认为绝大多数实数不是有理数。

有理数是个稠密的集合：任何两个有理数之间存在另一个有理数，事实上是存在无穷多个。

实数

有理数是实数的紧密子集：每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是，僅有理数可化為有限连分数。

依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的（稠密）子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。采用度量$d\left(x, y\right) = |x - y|$，有理数构成一个度量空间，这是$\mathbb{Q}$上的第三个拓扑。幸运的是，所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域。有理数是非局部紧致空间的一个重要的实例。这个空间也是完全不连通的。有理数不构成完备的度量空间；实数是$\mathbb{Q}$的完备集。

p进数

除了上述的绝对值度量，还有其他的度量将$\mathbb{Q}$转化到拓扑域：

设$p$是素数，对任何非零整数$a$设$|a|_p = p^{-n}$，这里$p^{n}$是整除$a$的$p$的最高次幂；

另外$|0|_p = 0$。对任何有理数$\frac{a}{b}$，设$\left|\frac{a}{b}\right|_p = \frac{|a|_p}{|b|_p}$。

则$d_p\left(x, y\right) = |x - y|_p$在$\mathbb{Q}$上定义了一个度量。

度量空间$\left(\mathbb{Q}, d_p\right)$不完备，它的完备集是p进数域$\mathbb{Q}_p$。