P進數

在数学中，主要在数论中，p进数系统是对每个素数p 将有理数的普通算术用一种不同于实数和复数系统的方法进行的扩展，这是通过对绝对值这一概念的另一种解释来达成的。

p进数(p-adic numbers)由Kurt Hensel在1897年首先引入，虽然在Kummer的一些早期作品就隐约有p进数概念。p进数的发展主要是被一次将幂级数的思想和技术引入到数论中的尝试所推动，但它们现在的影响不止于此。例如，p进数分析实际上提供了另一种形式的微积分。

更精确的说，对于一个给定的素数p，p进数的域 Q_p是有理数的扩展。把所有Q_p域放在一起考量，我们得到了Helmut Hasse的局部-整体原则。该原则大意是特定方程组在有理数域上有解当且仅当它们在实数域上以及对所有质数p的p进数域上有解。域 Q_p也是一个度量拓扑空间，该度量由有理数的另一种取值导出。这个度量是完备的（每个柯西列收敛）,这使得我们在Q_p上能引入微积分。这个分析和代数结构的交互影响给了p进数系统其价值和用途。

p进数的素数p是一个变量，可用素数如2，3，5。。替换，也可用另一种占位符变量替换，如ι进数

非正式的介绍p进数:使用10进数环的例子。（因10不是素数,在数学中一般不使用10进数。这里为了突出与10进整数比较而选择10进数。另外，10进数域 Q₁₀实际上不够成域 。下面给出了更正式的结构和性能。

在标准的十进制中，几乎所有的实数都没有的有限的十进制表示。例如，1/3可以表示成如下的十进制无限小数:$\frac{1}{3}=0.333333\ldots.$。十进制实数可逼近为任何所需的精确程度,如果两位十进制实数只有10小数位后不同，它们相当接近相等;如果只有20小数位后，他们更接近相等。10进数使用了类似的表示，但用了度量的紧的概念。两位10-adic数是否接近相等，用两位10进数表达式的高位10次幂(幂总用正整数)的不同来区分，因此，3333和4333，其中10^3位不同，两位10进数度量的紧性为10^3(接近相等)，而33333333和43333333在10进数的度量中更加接近，仅10^7位不同,10进数度量的紧性为10^7.

更确切地说，一个合理的数r可以表示为 10^e*p/q ,其中p和q是正整数，q和p互素，q和10也互素。可以想象对于每个r≠0这表示总存在一个最大的e，定义10进数的范数为 :

$|r|_{10} = \frac {1} {10^e}$

$|0|_{10} = 0.$

因此，在10-adic数中，定义度量为$|x-y|$，看下面不同数与 −1的紧性:

$9=-1+10 \,$        so  $|9-(-1)|_{10} = \frac {1} {10}$.

$99=-1+10^2 \,$       so  $|99-(-1)|_{10} = \frac {1} {100}$.

$999=-1+10^3 \,$       so  $|999-(-1)|_{10} = \frac {1} {1000}$.

$9999=-1+10^4 \,$       so  $|9999-(-1)|_{10} = \frac {1} {10000}$.

取上面序列的极限, 可确定 −1的10-adic表达为

$\dots 9999=-1.\,$

从上面可看出，10-adic可以无限期地延长1左侧来确定紧性（精度），而在十进制，可以延长右侧来确定（紧性）精度，请注意，这并不是唯一的方式来写P-adic数 。

更正式的，10进制数可以被定义为

$\sum_{i=n}^\infty a_i 10^i$

a的下标从集合{1,2。。。9}中取，n为有限整数（可=0，可负），从定义可看出，在正整数和正有理数上10-adic和10进制数等价，有相同有限表达式，可其它数不一定 可的定义10-adic数的加法，减法，乘法，和10进制数类似，使10-adic数形成了一个交换环。 如下定义10-adic数负数： 我们可以:$-100 = -1 \times 100 = \dots 9999 \times 100 = \dots 9900 \,$

$\Rightarrow -35 = -100+65 = \dots 9900 + 65 = \dots 9965 \,$

$\Rightarrow -\left(3+\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{-35}{10}= \dfrac{\dots 9965}{10}=\dots 9996.5$

分数十进制如果是无限表达式，10-adic数也有无限表达式，例如

$\dfrac{10^6-1}{7}=142857; \dfrac{10^{12}-1}{7}=142857142857; \dfrac{10^{18}-1}{7}=142857142857142857$

$\Rightarrow-\dfrac{1}{7}=\dots 142857142857142857$

$\Rightarrow-\dfrac{6}{7}=\dots 142857142857142857 \times 6 = \dots 857142857142857142$

$\Rightarrow\dfrac{1}{7} = -\dfrac{6}{7}+1 = \dots 857142857142857143.$

概括最后一个例子，我们可以找任何有理数p/q的10-adic数无限表达式;且q和10互素，这由欧拉定理保证：如果q|10,则总有n满足(10^n-1)|q. 然而，10-adic数环有一个主要的缺点:有可能找到一对非零的10-adic数，其积是0。换句话说，10-adic数的环不是一个整环，因为它们含有零因子。[3]反映了因为10是一个合数，而不是一个素数次幂。应避免使用一个合数而用素数p为基的数字系统.

如果p是一个固定的素数，那么任何正整数可以写成基p的形式表达式：

$\sum_{i=0}^n a_i p^i$

其中ai是整数{0，...， p-1}。例如，35的二进制扩张是1·25 + 0·24 + 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20, 常常写在速记符号1000112.

这还可扩展到较大的有理数域（实域）类似的形式：

$\pm\sum_{i=-\infty}^n a_i p^i.$

其中k是一些（不一定是正）整数，这是p-adic数域Q^p的定义。其中a_p = 0 ，i<0也被称为p-adic整数。 p-adic整数形成一个Q_p子环，Z_p表示。 （不要混淆，整数模p整数环有时也写Z_p。为了避免歧义，Z/PZ或Z/（P）经常被用来表示整数模p环。）

直觉上，p-adic数的表达式朝右越来越小，随着p幂阶朝左越来越大（如上面33333333和43333333例），这些p-adic数表达式左边是可以永远持续下去。例如，5-adic数1/3的在基5上为：...1313132，即序列2，32，132，3132，13132，313132，1313132，....,这序列如果乘以5-adic数3，则为...0000001。这3个序列都没有基5的负次幂，（即没有小数点右边的数字），我们看到，1/3是5-adic整数。

可能使用P-adic数的严格定义，探讨其属性。定义一个无限的总和，这使得这些表达式有意义的，通过引进的P-adic数度量概念，就像在实数逼近的情况下，下面举出两个不同但等价构造方法。

有几个不同的约定表达式写法。到目前为止，本文上面是从右到左，例如，¹⁄₅的3-adic 写为

$\dfrac{1}{5}=\dots 121012102_3.$

另一种表达式写法从左到右，幂次升降也反过来：

$\dfrac{1}{5}=2.01210121\dots_3\mbox{ or }\dfrac{1}{15}=20.1210121\dots_3.$

第三种可能会被写入与其他指标集的数字，而不是{0，1，...，p - 1}。例如，1/5 ，可以用平衡三元集{1,0,1}:

$\dfrac{1}{5}=\dots\underline{1}11\underline{11}11\underline{11}11\underline{1}_3.$

事实上，任何一在不同的剩余类模p的集合可作为P-adic数制。在数论中，Teichmüller数制有时使用

解析逼进Analytic approach

• 实数可以被定义为有理数的柯西序列等价类，所以写为1.000...= 0.999...一个柯西序列的定义依赖于所选择的度量，因此，如果我们选择一个不同的度量，我们可以构建实数不同的其他数。通常的度量产生真正的数字被称为欧氏度量。

对于一个给定的素数p，我们定义在有理数Q的p进赋值（ p-adic absolute value） 如下：对任何非零有理的数x，有一个唯一的整数n让我们写x=p^n* a/b, ，a和b都不整除p，当a/b的既约式如包含p因子，n=0。现在定义p进赋值为|x|^p=p^-n，|0|^p=0例如 x = 63/550 = 2^−1·3^2·5^−2·7·11^−1。

$\displaystyle|x|_2=2 \,\!$

$\displaystyle|x|_3=1/9 \,\!$

$|x|_5=25 \,\!$

$\displaystyle|x|_7=1/7 \,\!$

$|x|_{11}=11 \,\!$

$|x|_{\text{any other prime}}=1. \,\!$

p进赋值的定义让p进数的高阶项变“小”了，由算术基本定理，对于一个给定非零有理数x，有唯一由不同素数$p_1, \ldots, p_r$组成的有限集合使下式成立: $|x| = p_1^{a_1}\ldots p_r^{a_r}.$，对于不属于该有限集合的其它素数赋值都=1： $|x|_{p_i} = p_i^{-a_i}$ for all $1\leq i\leq r$, and $|x|_p = 1\,$ for any other prime $p \notin \{p_1,\ldots p_r\}.$

• 这种p进赋值定义可使高阶变“小”的效果。由算术基本定理，对于一个给定非零有理数x，有唯一的不同素数组成有限集合如下：$p_1, \ldots, p_r$ $a_1, \ldots, a_r$ 所以:

$|x| = p_1^{a_1}\ldots p_r^{a_r}.$

对于不属于该有限集它素数p进赋值总为1；

$|x|_{p_i} = p_i^{-a_i}$  $1\leq i\leq r$, and $|x|_p = 1\,$  $p \notin \{p_1,\ldots p_r\}.$

• 由奥斯特洛夫斯基定理theorem of Ostrowski ，对有理数Q的绝对赋值等于或者等于欧几里德的绝对赋值，或到一些素数p p进绝对赋值之一。 P-ADIC的绝对赋值度量定义为：

$d_p(x,y)=|x-y|_p \,\!$

P-adic数域Q_p 可以被定义为完备度量空间的（Q，D_p ），它的元素是柯西序列等价类，（两个序列被称为等价的，如果他们有不同到零收敛）。这样，我们得到一个完备度量空间。 从下可看出每个元素都有唯一的表达式 其中k是一些a_k ≠ 0 的整数，每个a∈{0, …, p − 1 }。这一序列敛到x。 这个绝对赋值Q_p ，是一个局部域local field.。

代数逼进algebraic approach

用代数的方法，我们首先定义P-adic整数环，然后构造这个环的分式环得到P-adic域，从P-adic整数环的逆像极限环inverse limit Z/pⁿZ ): （参见模运算modular arithmetic）：一个P-adic整数序列

(a_n)_n≥1 such that a_n is in

Z/pⁿZ, and if n ≤ m, then

a_n ≡ a_m (mod pⁿ).

每一个自然数m都可定义：(a_n) by a_n = m mod pⁿ ，因此可以P-adic整数。例如，在这种情况下，作为一个的2-adic整数35被写入序列（1，3，3，3，3，35，35，35，...）。 P-adic整数环的加法和乘法按序列依点对应加和乘，这定义良好，因和模算术加法和乘法对应。 更进一步，a_n第一项非0，总有逆，在这种情况下，对每一个n和p是互素，经过模算术的逆序列每项也和p互素，例如，考虑整数对应的自然数7;作为的2-adic数，为（1，3，7，7，7，7，7，...），而作为一个2-adic数逆元素，还是奇数递增序列（1，3，7，7，23，55，55，183，439，439，1463）。当然，这个的2-adic整数有没有相应的自然数 每一个这样的序列，也可以写成下面形式，例如，在3-adics序列（2，8，8，35，35，...）可以写为

 2 + 2*3 + 0·3^2 + 1·3^3 + 0·3^4 + ... 

每项对应着上面的偏序数。 整数写成P-adic整数可以唯一地写为下式：n为一个自然数，u为P-adic整数的单位。

$\mathbf{Q}_p=\left(\mathbf{Z}_p\right)^{\mbox{frac}}\cong (p^{\mathbf{Z}})^{-1}\mathbf{Z}_p.$

其中$S=p^{\mathbf{Z}}=\{p^{n}:n\in\mathbf{Z}\}$是乘法封闭子集且够成有1的交换环 记为S^-1A, 由S生成的分式环，其中$S=p^{\mathbf{Z}}=\{p^{n}:n\in\mathbf{Z}\}$

性质

P-adic整数环是有限环Z/p^kZ上的反向极限，但却为不可数基，有连续的基数。因此，该环的域的Q_p也是不可数的。Prüferp群的自同态环表示为Z(p^∞)ⁿ ，是在P-adic整数环的n×n矩阵，这有时被称为塔特模。 P-adic数包含有理数的Q和特征0的域的形式。但不能形成一个有序域。

有理算术

Eric Hehner和Nigel Horspool在1979年提出的一个使用在计算机上的，用P-adic表示论进行有理数算术运算方法，比通常方法更容易。主要优势是，加法，减法，乘法，可以用一个简单的方式类似于二进制整数类似的方法进行;除法更简单，类似乘法。但是，它的缺点是，分子和分母存储比简单二进制的分子和分母存储要大，例如，梅森素数2^n -1 ，其倒数将需要2^n -1 位存储。

推广及相关概念

实数和P-adic数是有理数的完备化，可以用类似的方式，完备其他的域，例如一般代数数域。

另见

• Hensel's lemma
• Mahler's theorem
• C-minimal theory
• two's complement
• 1 + 2 + 4 + 8 + ...
• method of complements

参考

• Gouvêa, Fernando Q. p-adic Numbers : An Introduction 2nd. Springer. 2000. ISBN 3-540-62911-4. 
• Koblitz, Neal. P-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions 2nd. Springer. 1996. ISBN 0-387-96017-1. 
• Robert, Alain M. A Course in p-adic Analysis. Springer. 2000. ISBN 0-387-98669-3. 
• Bachman, George. Introduction to p-adic Numbers and Valuation Theory. Academic Press. 1964. ISBN 0-12-070268-1. 
• Steen, Lynn Arthur. Counterexamples in Topology. Dover. 1978. ISBN 0-486-68735-X. 

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因, p-adic Number at MathWorld
• PlanetMath上p-adic integers的資料。
• p-adic number at Springer On-line Encyclopaedia of Mathematics
• Completion of Algebraic Closure - on-line lecture notes by Brian Conrad
• An Introduction to p-adic Numbers and p-adic Analysis - on-line lecture notes by Andrew Baker, 2007

例子

整数的安排，由左到右。这显示了一个层次的细分格局，共同超度量空间,1/8的距离内的点都集中在8个带色竖带，1/4的距离内的点都集中在4个带色竖带，1/2的距离内的点都集中在2个带色竖带，灰色的距离为1

Template:Mvar = 2		← distance = 1 →
De- ci- mal	Bi- nary	← d = ½ →				← d = ½ →
		‹ d=¼ ›		‹ d=¼ ›		‹ d=¼ ›		‹ d=¼ ›
		‹⅛›	‹⅛›	‹⅛›	‹⅛›	‹⅛›	‹⅛›	‹⅛›	‹⅛›
		................................................
17	10001					J
16	10000	J
15	1111								L
14	1110				L
13	1101						L
12	1100		L
11	1011							L
10	1010			L
9	1001					L
8	1000	L
7	111								L
6	110				L
5	101						L
4	100		L
3	11							L
2	10			L
1	1					L
0	0…000	L
−1	1…111								J
−2	1…110				J
−3	1…101						J
−4	1…100		J
Dec	Bin	················································
	2-adic ( Template:Mvar = 2 )|}