P進數

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提示:本条目的主题不是p进制数
各种各样的
基本

\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}

正數 \begin{smallmatrix} \mathbb{R}^+ \end{smallmatrix}
自然数 \begin{smallmatrix} \mathbb{N} \end{smallmatrix}
正整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}^+ \end{smallmatrix}
小数
有限小数
无限小数
循环小数
有理数 \begin{smallmatrix} \mathbb{Q} \end{smallmatrix}
代數數 \begin{smallmatrix} \mathbb{A} \end{smallmatrix}
实数 \begin{smallmatrix} \mathbb{R} \end{smallmatrix}
複數 \begin{smallmatrix} \mathbb{C} \end{smallmatrix}
高斯整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[i] \end{smallmatrix}

负数 \begin{smallmatrix} \mathbb{R}^- \end{smallmatrix}
整数 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z} \end{smallmatrix}
负整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}^- \end{smallmatrix}
分數
單位分數
二进分数
規矩數
無理數
超越數
虚数
二次无理数
艾森斯坦整数 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[\omega] \end{smallmatrix}

延伸

雙複數
四元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{H} \end{smallmatrix}
共四元數
八元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{O} \end{smallmatrix}
超數
上超實數

超复数
十六元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{S} \end{smallmatrix}
複四元數
大實數
超實數 \begin{smallmatrix} {}^\star\mathbb{R} \end{smallmatrix}
超現實數

其他

对偶数
雙曲複數
序数
質數
同餘
可計算數
阿列夫数

公稱值
超限数
基數
P進數
規矩數
整數數列
數學常數

圓周率 \begin{smallmatrix} \pi \end{smallmatrix}
 = 3.141592653…
自然對數的底 \begin{smallmatrix} e \end{smallmatrix}
 = 2.718281828…
虛數單位 \begin{smallmatrix} i \end{smallmatrix}
 = \begin{smallmatrix} +\sqrt{-1} \end{smallmatrix}
無窮大 \begin{smallmatrix} \infty \end{smallmatrix}

p进数数论中的概念,是有理数域拓展成的完备数域的一种。这种拓展与常见的有理数域到实数域复数域的数系拓展不同。具体在于定义的“距离”概念。p进数的距离概念建立在整数整除性质上。给定素数p,若两个数之差被p的高次幂整除,那么这两个数距离就“接近”,幂次越高,距离越近。这种定义在数论性质上的“距离”能够反映同余的信息,是数论研究中的有力工具。

1897年,亨泽尔英语Kurt Hensel首先构思并刻画了p进数的概念。p进数的发展动机主要是试图将幂级数方法引入到数论中,但现在影响已远不止于此,例如可以在p进数上建立分析学,将数论和分析的工具结合起来。

预备知识[编辑]

数系的拓展[编辑]

数系是人类将自然中的数量关系抽象化得到的代数体系。最早建立的数系是带有加减乘除运算法则的自然数\mathbb{N} = \{ 1,2,3 \cdots \},其後引入了负数分数的概念,形成了对加减法、乘除法封闭的整数\mathbb{Z}有理数\mathbb{Q}。在此基础上,通过无理数的发现,有理数系拓展为实数数系\mathbb{R}。然而,\mathbb{Q} \; \to \; \mathbb{R}的拓展和\mathbb{N} \; \to \; \mathbb{Z} \; \to \; \mathbb{Q}的拓展有本质的不同。

[编辑]

\mathbb{N} \; \to \; \mathbb{Z} \; \to \; \mathbb{Q}拓展的本质,是对运算法则的补全。例如由于发现1-2不属于\mathbb{N},所以引入了负数,将\mathbb{N}拓展为\mathbb{Z}\mathbb{Z}满足“其中任两个数的和或差都仍在其中”。同样地,由于发现1/2不属于\mathbb{Z},所以引入了分数,将\mathbb{Z}拓展为\mathbb{Q}。规定了不得除以0後,\mathbb{Q}中任两个数的乘积或商仍在\mathbb{Q}中。这样便形成了一套可以融洽四则运算的代数体系。现代数学中将这类概念称为

度量[编辑]

\mathbb{N} \; \to \; \mathbb{Z} \; \to \; \mathbb{Q}拓展是满足代数运算的需求,而\mathbb{Q} \; \to \; \mathbb{R}则是拓扑学的需要。这里的拓扑指的是为代数体系赋予“形状”,定义“远近”、“长短”等概念。一个常见的拓扑学方法是引入“距离”的概念,正式称呼为度量。最直观的定义是将两个有理数的“距离”(度量)d定义为它们的差的绝对值

d(x, y) = |x - y|.

两个有理数之间的度量仍然是一个有理数。也即是说这样定义的度量函数是一个\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}^+ = \{ x \in \mathbb{Q} ; \; \; x \geqslant 0\}  的映射。其中\mathbb{Q}^+的大小关系则是有理数域上定义的域全序

完备化[编辑]

装备了度量的空间上,可以讨论极限的概念。极限是用来描述一个数列在下标趋于无穷时的趋势。例如,如果一个有理数列在下标趋于无穷时,数列元素与某个数l \in \mathbb{Q}的距离可以小于任意给定的正有理数,就称l为此数列的极限。拥有极限的数列,其元素在下标趋于无穷时相互无限“靠近”,但反而言之,这样的数列不一定拥有有理数极限。比如说以下数列:

\frac12 , \frac23 , \frac35 , \frac58 , \frac{8}{13} , \cdots

这说明,有理数域不能满足度量空间的某些需求。为此而进行的拓展称为完备化

\mathbb{Q}拓展为\mathbb{R}的拓扑方法由康托提出。康托的方法依赖于现称为柯西数列的概念。柯西数列是一种可以用任意“小”的“圆盘”覆盖从某项起所有项的无穷数列。某个有理数数列(a_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{Q}^{\mathbb{N}}是柯西数列,当且仅当对任意有理数\epsilon > 0,都存在自然数N_\epsilon \in \mathbb{N},使得对任意n, m > N_\epsilon,都有d(a_n ,a_m) < \epsilon。康托承认每个这样的数列都收敛到某个极限,将无理数定义为某个柯西数列的极限。当然也存在收敛到有理数的柯西数列,比如常数数列。如果两个柯西数列(a_n)_{n\in \mathbb{N}}(b_n)_{n\in \mathbb{N}}的差:(a_n - b_n)_{n\in \mathbb{N}}收敛于0,就称这两个数列等价。这样可以在所有的柯西数列中建立等价关系。而康托将所有的等价类的集合定义为\mathbb{R}。可以证明,四则运算、绝对值度量和序关系“>”都可以从有理数域自然诱导到实数上。这样就定义了有序完备数域\mathbb{R}

实数是建立在绝对值度量上的,这种度量与日常现实中的欧几里德式的“距离”概念吻合,符合直观经验。实数也因此成为描述现实世界的有力数学工具。p进数与实数的不同在于,它是将绝对值度量改为另一种非直观的度量对有理数进行完备化得到的完备数域。

p进数展开[编辑]

给定素数p,任一正整数N都能写成如下的展开形式:

N = \sum_{i=0}^n a_i p^i

这种展开是进位制的基础。其中ai是{0, … , p − 1}中的整数。例如,35的二进制展开为1·25 + 0·24 + 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20,常常简写作 1000112

将这种描述推广到更大的有理数域(最终到实数域)的常见方法是使用这样的和式:

\pm\sum_{i=-\infty}^n a_i p^i.

这样的和式的确切意义可在以绝对值度量柯西列基础上得到。于是,例如1/3在5进制中可表为序列0.1313131313...5的极限。在这样的描述中,整数恰好是那些满足对所有i < 0有ai = 0的数。

另一方面,对p进数而言,我们用另一方式推广p进制展开。因为在p进数里p的高正次幂很小而高负次幂很大,我们考虑如下形式的无限和:

\pm\sum_{i=k}^{\infty} a_i p^i.

其中k是某个(不一定是正的)整数。这样我们得到p进数的p进展开p进数中满足对所有i < 0有ai = 0者称为p进整数

实数的p进制展开越往右边所加的p的幂次的负指数越高,数值越小。与此相反,p进数可以向左无限展开。这一性质对p进整数常常成立。

例如,考虑1/3的5进展开,可以证明它是…13131325,即序列25,325,1325,31325,131325,3131325,13131325的极限。

\dfrac{5^2-1}{3}=\dfrac{44_5}{3} = 13_5; \,
\dfrac{5^4-1}{3}=\dfrac{4444_5}{3} = 1313_5
\Rightarrow-\dfrac{1}{3}=\dots 1313_5
\Rightarrow-\dfrac{2}{3}=\dots 1313_5 \times 2 = \dots 3131_5
\Rightarrow\dfrac{1}{3} = -\dfrac{2}{3}+1 = \dots 3132_5.

在5进制中将以上和式乘以3,我们得到…00000015。因为1/3的这一展开中没有5的负次幂(即小数点右边没有数字),我们知道1/3满足5进整数的定义。

更正式而言,p进展开可以定义p进数Qp,而p进整数形成一个Qp子环,记作Zp。为避免歧义,Z/pZZ/(p)常用来表示整数模p的剩余环。

尽管可以用以上方式定义p进数并探究其性质,其他方法往往更可取,正如实数的情况一样。于是我们想定义一种无限和的概念来赋予以上的表达式以意义。最简便的方法是引入p进度量。下文构造一节中将描述两种不同但彼此等价的方式。

记法[编辑]

p进展开有多种惯用记法。目前本文使用的p进展开记号自右向左p的幂次逐渐升高。例如,用这种自由向左的记法,1/5的3进展开写作

\dfrac{1}{5}=\dots 121012102_3.

在这种记法下,进行四则运算时向左进位。也有p进展开的写法p的幂次自左向右逐渐升高,并且向右进位。用这种自左向右的记法,1/5的3进展开写作

\dfrac{1}{5}=2.01210121\dots_3\mbox{ or }\dfrac{1}{15}=20.1210121\dots_3.

p进展开也可用除{0, 1, …, p − 1}以外的数字书写。例如,1/5的3进展开可用平衡三进制的数字{1,0,1}写成

\dfrac{1}{5}=\dots\underline{1}11\underline{11}11\underline{11}11\underline{1}_3.

事实上任意一组p两两不同余的整数均可用作p进数字。在数论中也可用维特向量来表示。[1]

构造[编辑]

分析方法[编辑]

对于一个给定的素数p,我们可以在Q上如下定义p进赋值:对任一非零有理数x,有一个唯一的整数n让我们可以写出x = pn(a/b), 其中ab均不被p整除,如a/b的既约式中分子和分母均不包含p因子,n将为0。现在定义p进赋值为|x|p = p-n,另定义|0|p = 0。

例如,取x = 63/550 = 2−1·32·5−2·7·11−1,则


 \begin{matrix} 
|x|_2 & = 2 \\[6pt]
|x|_3 & = 1/9 \\[6pt]
|x|_5 & = 25 \\[6pt]
|x|_7 & = 1/7 \\[6pt]
|x|_{11} & = 11 \\[6pt]
|x|_{\text{any other prime}} & = 1.
 \end{matrix}

p进赋值的这种定义让p进数的高阶项变“小”了。由算术基本定理,对于一个给定非零有理数x,有唯一由不同素数p_1, \ldots, p_r组成的有限集合,以及一个相应的非零整数序列a_1, \ldots, a_r使下式成立:

 |x| = p_1^{a_1}\ldots p_r^{a_r}.

从而,对所有 1\leq i\leq r  |x|_{p_i} = p_i^{-a_i} ,并且对于其他不属于 \{p_1,\ldots, p_r\}.的素数|x|_p = 1

  • 奥斯特洛夫斯基定理,对有理数Q的所有绝对值赋值或者等价于欧氏绝对值,或为平凡赋值,或等价于某素数pp进绝对值。 从而Q(关于某赋值)的完备化也只有这些。

p进绝对值在Q上定义了一个度量dp

d_p(x,y)=|x-y|_p \,\!

p进域Qp 可被定义为度量空间(Q,dp完备化。其元素为柯西序列等价类。如果两个序列对应项之差[收敛]]于0,则称它们等价。这样,我们得到一个完备度量空间。它包含Q,并且也是一个域。

可以证明每个Qp中的元素都有唯一表达式

\sum_{i=k}^{\infty} a_i p^i

其中k是一个使ak ≠ 0 的整数,每个ai属于{0, …, p − 1 }。这一序列在度量dp收敛x

这个绝对值使Qp成为一个局部域

代数方法[编辑]

用代数的方法,我们首先定义p进整数环,然后构造其分式域得到p进域。

我们从下列环的逆极限入手: Z/pnZ (参见模算术)。于是,一个p进整数是一个序列(an)n≥1使得an位于Z/pnZ中, 并且若 nm,则 a{mvar|n}}am (mod pn).

每一个自然数m都通过an = m的方式定义这样一个序列(an),因此可被认作p进整数。例如,用这种方式,35写成2进整数会是序列(1,3,3,3,3,35,35,35,...)。

p进整数环的加法和乘法即序列逐项相加相乘。这是良定的,因为加法、乘法与取模运算可交换,参见模算术

更进一步,每个首项非零的序列(an)总有逆。在这种情况下,对每一个nanp是互素,所以mvar|a}}npn也互素。从而,每项mvar|a}}npn均有逆mvar|b}}n,并且由这些逆组成的序列(bn)为所求之(an)的逆。例如,考虑自然数7对应的p进整数。作为的2-adic数,7可写作(1,3,7,7,7,7,7,...),其逆将为递增序列,头几项是(1,3,7,7,23,55,55,183,439,439,1463)。自然,这个的2进整数有没有相应的自然数。

每一个这样的序列又可写作一级数。例如,在3进数中,序列(2,8,8,35,35,...)可写作 2 + 2·3 + 0·32 + 1·33 + 0·34 + ...。该级数的部分和即所给序列的各项。

p进整数环无零因子,因此我们可以取其分式域而得到p进数域Qp。注意在此分式域中,所有非整数的p进数均可写为p-nu,其中n为正整数,而up进整数中的单位。这意味着

 \mathbf{Q}_p=\operatorname{Frac}\left(\mathbf{Z}_p\right)\cong (p^{\mathbf{N}})^{-1}\mathbf{Z}_p.

S=p^{\mathbf{Z}}=\{p^{n}:n\in\mathbf{Z}\}S是交换幺环A的可乘子集(关于乘法封闭且含有1)。注意S-1A为一代数构造,称作AS生成的分式环

性质[编辑]

p进整数环是有限环Z/pkZ逆极限,但却不可数,[2],它有连续统基数。因此,该环的分式域Qp也是不可数的。n阶Prüfer p群的自同态环记为Z(p)n ,它是在p进整数环上的n×n矩阵,有时被称为塔特模

p进数包含有理数的Q,是一特征为0的域。但并不能形成一有序域[來源請求]

Zp上的拓扑T定义为由形如U{}_a(n) = \{n + \lambda p^a, \lambda \in \mathbf Z_p, a \in \mathbf N\}的开集为生成。则ZpZ在其诱导的拓扑下的紧致化(不是Z在通常的离散拓扑下的紧致化)。Z作为Zp子集的相对拓扑称为Z上的p进拓扑

p进整数集上的拓扑为一康托尔集,而p进数集上的拓扑为康托尔集去掉一个点(此点通常称为无穷)。特别的,p进整数为一紧致空间而p进数则不是。后者只是局部紧致的。作为度量空间p进整数和p进数都是完备的。

实数系仅有一个真代数扩张,即复数,换句话说,这个二次扩张已是代数封闭的。与此相反,p进数的代数闭包次数为无穷,即Q<subp有无穷多个互不等价的代数扩张。同样与实数系不同的是,虽然p进赋值有唯一的在Q<subp代数闭包上的延拓,这个度量并不完备。其完备化称为C<subp\Omega_p。事情到此为止,因为C<subp是代数封闭的。不像复数域,C<subp并不局部紧致。

C<subp代数同构于复数域C,所以我们可以认为C<subp是被赋予一个奇异的度量的复数域。需要指出的是,此代数同构的存在性的证明依赖于选择公理,因此并不能给出具体的同构例子。

p进数域包含n分圆域n>2)当且仅当n整除p-1。例如,n分圆域Q13子域当且仅当n = 1,2,3,4,6或12。特别的,当p>2时,p进数的乘法群没有p挠。另外,-1是2进域中唯一非平凡的乘法挠元。

给定自然数kQp中非零元k次幂形成的乘法子群在Qp乘法群中的指数有限。

定义为阶乘数倒数和的数e并非任何p进数域中的元素,但对所有除2意外的pep却是p进数。对于这个例外,必须取e的4次幂。(从而对所有p,一个与e有类似性质的数,即epp次根,是p进数域代数闭包的元素)。

对实数而言,导数为0的唯一函数即常值函数。对Qp而言这并不成立。例如,

f: QpQp, f(x) = (1/|x|p)2 for x ≠ 0, f(0) = 0,


这个函数处处导数为0,但在0附近却连局部常值函数都不是。

有理算术[编辑]

Eric HehnerNigel Horspool在1979年提出的一个使用在计算机上的,用P-adic表示论进行有理数算术运算方法,比通常方法更容易[3]。主要优势是,加法,减法,乘法,可以用一个简单的方式类似于二进制整数类似的方法进行;除法更简单,类似乘法。但是,它的缺点是,分子和分母存储比简单二进制的分子和分母存储要大,例如,梅森素数2^n -1 ,其倒数将需要2^n -1 位存储。

推广及相关概念[编辑]

实数和P-adic数是有理数的完备化,可以用类似的方式,完备其他的域,例如一般代数数域。

另见[编辑]

参考[编辑]

  • Gouvêa, Fernando Q. p-adic Numbers : An Introduction 2nd. Springer. 2000. ISBN 3-540-62911-4. 
  • Koblitz, Neal. P-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions 2nd. Springer. 1996. ISBN 0-387-96017-1. 
  • Robert, Alain M. A Course in p-adic Analysis. Springer. 2000. ISBN 0-387-98669-3. 
  • Bachman, George. Introduction to p-adic Numbers and Valuation Theory. Academic Press. 1964. ISBN 0-12-070268-1. 
  • Steen, Lynn Arthur. Counterexamples in Topology. Dover. 1978. ISBN 0-486-68735-X. 

参考资料[编辑]

  1. ^ Hazewinkel, M.., Handbook of Algebra, Volume 6, Elsevier. 2009:  342, ISBN 9780080932811 .
  2. ^ Robert (2000) Section 1.1
  3. ^ Eric C. R. Hehner, R. Nigel Horspool, A new representation of the rational numbers for fast easy arithmetic. SIAM Journal on Computing 8, 124–134. 1979.

外部链接[编辑]

Template:Number Systems


例子[编辑]

整数的安排,由左到右。这显示了一个层次的细分格局,共同超度量空间,1/8的距离内的点都集中在8个带色竖带,1/4的距离内的点都集中在4个带色竖带,1/2的距离内的点都集中在2个带色竖带,灰色的距离为1

p = 2 ← distance = 1 →
De-
ci-
mal
Bi-
nary
← d = ½ → ← d = ½ →
‹ d=¼ › ‹ d=¼ › ‹ d=¼ › ‹ d=¼ ›
‹⅛› ‹⅛› ‹⅛› ‹⅛› ‹⅛› ‹⅛› ‹⅛› ‹⅛›
................................................
17  10001          J      
16 10000  J  
15 1111     L
14 1110   L  
13 1101     L
12 1100   L  
11 1011     L
10 1010   L  
9 1001     L
8 1000   L  
7 111   L
6 110 L  
5 101   L
4 100 L  
3 11   L
2 10 L  
1 1   L
0 0…000 L  
−1 1…111      J
−2 1…110    J  
−3 1…101      J
−4 1…100    J  
Dec Bin ················································
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2-adic (p = 2)|}