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连通空间

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R² 的连通和不连通子空间。上面的空间 A 是连通的,下面的空间 B 是不连通的。

定义[编辑]

拓扑空间X称为是连通的。当且仅当以下叙述之一成立:

一个拓扑空间被称为是不连通的,若它不是连通的。

连通性是拓扑空间的一个拓扑不变性质,即两个拓扑空间之间若存在一个同胚映射,其中一个空间是连通的,则另一个空间也是连通的。

一些数学家承认空集(按照它独有的拓扑)是连通空间,不过也有数学家不承认这一点。

连通单元[编辑]

连通子集
拓扑空间X的子集A称为连通的,当且仅当A诱导的子拓扑空间是连通的。
连通单元
拓扑空间的极大连通子集称作连通单元
完全不连通空间
拓扑空间X称为完全不连通空间,当且仅当X的连通单元都是单元素集合。

每个空间都能表成它的连通单元的不相交并集。

连通单元必然是闭的,在够好的空间(如流形代数簇)上也同时是开的,但并非总是如此。

其它连通性定义[编辑]

道路连通,弧连通[编辑]

R² 的这个子空间是道路连通的,因为在这个空间的任何两点之间可绘制一个道路。
称拓扑空间X是道路连通空间,当且仅当∀x,y∈X,存在连续函数\gamma: [0,1] \to X 使得 \gamma(0)=x, \gamma(1)=y。若\gamma 可取为使得 [0,1] \to \gamma([0,1])同胚,则称X为弧连通空间

道路连通空间是连通空间,反之不一定。

道路连通的豪斯多夫空间必为弧连通空间。

局部连通[编辑]

拓扑空间X称为局部连通的,当且仅当以下叙述之一成立:

  • 空间中的任一点都存在连通的邻域(即该邻域是X的连通子集)。
  • 空间的拓扑基完全由连通的集合组成。

例子[编辑]

參考文獻[编辑]