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乌雷松度量化定理

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乌雷松度量化定理给出了一个拓扑空间是可度量化的充分条件。 注意:由于定理给出的是充分条件,这意味着可度量化空间的基不一定可数,例如具有离散拓扑实轴R,它的拓扑必然包括R上所有的单点集,而单点集必定是所给拓扑基基元素的一部分,并以单点集形式出现,而这些单点集显然是不可数的。所以具有离散拓扑实轴R尽管是可度量化的,但它却没有一组可数基。

内容[编辑]

如果一个拓扑空间X是正则的,且有一组可数基,那么X是可度量化的。 一个拓扑空间中被说成是可度量的,如果有一个度量 (X,\tau) d\colon X \times X \to [0,\infty) 并且这拓扑\taud 诱导产生。

证明的想法[编辑]

利用X是正则的且有一组可数基的假定就可以证明,X能嵌入一个度量空间之中。因此,X与一个度量空间的子空间同胚。由于一个度量空间的子空间是可度量化的,又由于可度量性是一种拓扑性质,于是得出:X是可度量化的。

例子[编辑]

Z上的等差数列拓扑由所有形如 Aa,b={...,a-2b,a-b,a,a+b,a+2b,...} 的等差数列所组成的基来定义,其中a,b∈R.b≠0。

参考[编辑]

《拓扑学基础及应用》/(美)亚当斯(Adams.C)等著;沈以淡等译.-北京:机械工业出版社,2010.2 ISBN:978-7-111-28809-1