一致收斂

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數學中,一致收斂性(或稱均匀收敛)是函數序列的一種收斂定義,它較逐點收斂更強,並能保持一些重要的分析性質(如連續性)。

定義[编辑]

S 為一集合(M,d) 為一度量空間。若對一函數序列 f_n:  S \to M,存在 f: S \to M 滿足

對所有 \epsilon > 0,存在 N \in \N,使得 n \geq N \Rightarrow  \forall x \in S, \quad d(f_n(x), f(x)) < \epsilon

則稱 f_n 一致收斂到 f

最常用的是 M=\R, \mathbb{C} 的情形,此時條件寫成

對所有 \epsilon > 0,存在 N \in \N,使得 n \geq N \Rightarrow  \forall x \in S, \quad |f_n(x) - f(x)| < \epsilon

注意到,一致收敛和逐点收敛定义的区别在于,在一致收敛中N仅与\epsilon相关,而在逐点收敛中N还与x相关。所以一致收敛必定逐点收敛,而反之则不然。

例子[编辑]

在 [-1,1] 上一致收斂到絕對值函數的多項式序列

例子一:對任何 [0,1] 上的連續函數 f,考慮多項式序列

P_n(x) := \sum_{k=0}^n f\left(\frac{k}{n}\right){n \choose k} x^k (1-x)^{n-k}

可證明 P_n區間 [0,1] 上一致收斂到函數 f。其中的 b_{k,n}(x) := {n \choose k} x^k (1-x)^{n-k} 稱為 伯恩斯坦多項式

透過坐标的平移與縮放,可知在任何閉區間上都能用多項式一致地逼近連續函數,這是斯通-维尔斯特拉斯定理的一個建構性證明。

逐點收斂而非一致收斂的例子

例子二:考慮區間 [0,\pi] 上的函數序列 f_n(x) := \sin^n(x),它逐點收斂到函數

f(x) = \begin{cases}0 &, x \neq \pi/2 \\ 1 &,x = \pi/2 \end{cases}

然而這並非一致收斂。直觀地想像:當 x 愈靠近 \pi/2,使 f_n(x) 接近 0 所需的 n 便愈大。可以依此想法循定義直接證明,也可以利用下節關於連續的性質證明,因為在此例中 f_n(x) 皆連續,而f(x) 不連續。

性質[编辑]

假設 f_n 一致收斂到 f,此時有下述性質:

  • 連續性:
  1. a是集合I闭包中的一个元素,且每個 f_n 都在a連續,則 f 也在a上連續。
  2. 若对集合I的每個紧子集J,每個 f_n 都在J連續,則fI上連續。
  • 與積分的交換:令 S\R^n 中的開集,M=\R\mathbb{C}。若每個 f_n 都是黎曼可積,則 f 也是黎曼可積,而且 \lim_{n \to \infty}\int_S f_n \mathrm{d}x = \int_S f \mathrm{d}x:在勒貝格積分的框架下能得到更廣的結果。
  • 與微分的交換:令 S\R^n 中的開集,M=\R\mathbb{C}。若每個 f_n 皆可微,且 f_n' 一致收斂到函數 g,則 f 亦可微,且 f' = g

文獻[编辑]

  • Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series; Blackie and Son, London, 1954, reprinted by Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2.
  • G.H. Hardy, Sir George Stokes and the concept of uniform convergence; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19, pp. 148-156 (1918)
  • Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology. Chapters 5-10 (Paperback); ISBN 0-387-19374-X