一致收斂

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在數學中，一致收斂性（或稱均匀收敛）是函數序列的一種收斂定義，它較逐點收斂更強，並能保持一些重要的分析性質（如連續性）。

定義

設 S 為一集合，(M,d) 為一度量空間。若對一函數序列 $f_n: S \to M$，存在 $f: S \to M$ 滿足

對所有 $\epsilon > 0$，存在 $N \in \N$，使得 $n \geq N \Rightarrow \forall x \in S, \quad d(f_n(x), f(x)) < \epsilon$

則稱 f_n 一致收斂到 f。

最常用的是 $M=\R, \mathbb{C}$ 的情形，此時條件寫成

對所有 $\epsilon > 0$，存在 $N \in \N$，使得 $n \geq N \Rightarrow \forall x \in S, \quad |f_n(x) - f(x)| < \epsilon$

注意到，一致收敛和点点收敛定义的区别在于，在一致收敛中N仅与$\epsilon$相关，而在点点收敛中N还与x相关。所以一致收敛必定点点收敛，而反之则不然。

例子

在 [-1,1] 上一致收斂到絕對值函數的多項式序列

例子一：對任何 [0,1] 上的連續函數 f，考慮多項式序列

$P_n(x) := \sum_{k=0}^n f\left(\frac{k}{n}\right){n \choose k} x^k (1-x)^{n-k}$

可證明 P_n 在區間 [0,1] 上一致收斂到函數 f。其中的 $b_{k,n}(x) := {n \choose k} x^k (1-x)^{n-k}$ 稱為 伯恩斯坦多項式。

透過坐标的平移與縮放，可知在任何閉區間上都能用多項式一致地逼近連續函數，這是斯通-维尔斯特拉斯定理的一個建構性證明。

逐點收斂而非一致收斂的例子

例子二：考慮區間 [0,π] 上的函數序列 f_n(x): = sin ⁿ(x)，它逐點收斂到函數

$f(x) = \begin{cases}0 &, x \neq \pi/2 \\ 1 &,x = \pi/2 \end{cases}$

然而這並非一致收斂。直觀地想像：當 x 愈靠近 π / 2，使 f_n(x) 接近 0 所需的 n 便愈大。可以依此想法循定義直接證明，也可以利用下節關於連續的性質證明，因為在此例中 f_n(x) 皆連續，而f(x) 不連續。

性質

假設 f_n 一致收斂到 f，此時有下述性質：

• 連續性：

1. 若a是集合I的闭包中的一个元素，且每個 f_n 都在a上連續，則 f 也在a上連續。
2. 若对集合I的每個紧子集J，每個 f_n 都在J上連續，則f在I上連續。

• 與積分的交換：令 S 為 $\R^n$ 中的開集，$M=\R$ 或 $\mathbb{C}$。若每個 f_n 都是黎曼可積，則 f 也是黎曼可積，而且 $\lim_{n \to \infty}\int_S f_n \mathrm{d}x = \int_S f \mathrm{d}x$。註：在勒貝格積分的框架下能得到更廣的結果。
• 與微分的交換：令 S 為 $\R^n$ 中的開集，$M=\R$ 或 $\mathbb{C}$。若每個 f_n 皆可微，且 f_n' 一致收斂到函數 g，則 f 亦可微，且 f' = g。

文獻

• Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series; Blackie and Son, London, 1954, reprinted by Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2.
• G.H. Hardy, Sir George Stokes and the concept of uniform convergence; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19, pp. 148-156 (1918)
• Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology. Chapters 5-10 (Paperback); ISBN 0-387-19374-X