區間

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數學上,區間是一個關於數列的概念。

簡說[编辑]

初等代數,傳統上區間指一個,包含在某兩個特定實數之間的所有實數,亦可能同時包含該兩個實數。區間表示法是表示一個變數在某個區間內的方式。通用的區間表示法中,圓括號表示「排除」,方括號表示「包括」。例如,開區間(10,20)表示所有在10和20之間的實數,但不包括10或20。另一方面,閉區間[10,20]表示所有在10和20之間的實數,以及10和20。

嚴格定義[编辑]

區間的定義被推廣到任何全序集 T\ 子集 S\ ,使得若 x\ y\ 均屬於 S\ ,且 x < z < y\ ,則 z\ 亦屬於 S\

特別重要的情況是當 T = \mathbb{R}

\mathbb{R} 的區間有以下十一種 (a\ b\ 為實數且 a < b)\

  1. (a, b) = \{ x | a < x < b \}\
  2. [a, b] = \{ x | a \le x \le b \}
  3. [a, b) = \{ x | a \le x < b \}
  4. (a, b] = \{ x | a < x \le b \}
  5. (a, \infty) = \{ x | x > a \}
  6. [a, \infty) = \{ x | x \ge a \}
  7. (-\infty, b) = \{ x | x < b \}
  8. (-\infty, b] = \{ x | x \le b \}
  9. (-\infty, \infty) = \mathbb{R} 自身,實數集
  10. [a, a] = \{a\}\ ,即單元素集合
  11. \varnothing,即空集

#1、#5、#7、#9和#11稱為「開區間」(因為它們是開集),#2、#6、#8、#9、#10和#11稱為「閉區間」(因為它們是閉集)。#3和#4有時稱為「半開區間」或「半閉區間」。#9和#11同時為「開」和「閉」,並非「半開」、「半閉」。

#1、#2、#3、#4、#10和#11有界區間;#5、#6、#7、#8和#9為無界區間。#10為單點。

區間算術[编辑]

區間算術又稱區間數學、區間分析、區間計算,在1950、60年代引進以作數值分析上計算捨去誤差的工具。

T \times S = \{ x | 屬於 T\ 的某些 y\ ,及屬於 S\ 的某些 z\ ,使得 x = y \times z \}.

區間算術的基本運算是,對於實數線上的子集 [a,b]\ [c,d]\

  • [a,b] + [c,d] = [a+c, b+d]\
  • [a,b] - [c,d] = [a-d, b-c]\
  • [a,b] \times [c,d] = [\min (ac, ad, bc, bd), \max (ac, ad, bc, bd)]\
  • [a,b] / [c,d] = \left[ \min \left(\frac{a}{c}, \frac{a}{d}, \frac{b}{c},\frac{b}{d} \right), \max \left( \frac{a}{c}, \frac{a}{d}, \frac{b}{c},\frac{b}{d} \right) \right] \

被一個包含零的區間除,在基礎區間算術上無定義。

加法和乘法符合交換律結合律和子分配律:集X ( Y + Z )是XY + XZ的子集。

另一種寫法[编辑]

法国及其他一些欧洲国家,和國際標準化組織編制的ISO 31-11,用 ][ 代替 () 來表示开区间,例如:

  • ]a, b[ \ = \{ x | a < x < b \}
  • [a, b] = \{ x | a \le x \le b \}
  • [a, b[ \ = \{ x | a \le x < b \}
  • ]a, b] = \{ x | a < x \le b \}

小數點以逗號來表示的情況下,為免產生混淆,分隔兩數的逗號要用分號來代替。例如 [1,2.3]\ 就要寫成 [1;2,3]\ 。否則,若只把小數點的句點寫成逗號,之前的例子就會變成 [1,2,3] 了。這時就不能知道究竟是 1.2 與 3 之間, 還是 1 與 2.3 之間的閉區間了。