區間

在數學上，區間是一個關於數列和集的概念。

簡說

在初等代數，傳統上區間指一個集，包含在某兩個特定實數之間的所有實數，亦可能同時包含該兩個實數。區間表示法是表示一個變數在某個區間內的方式。通用的區間表示法中，圓括號表示「排除」，方括號表示「包括」。例如，區間(10,20)表示所有在10和20之間的實數，但不包括10或20。另一方面，[10,20]表示所有在10和20之間的實數，以及10和20。

嚴格定義

區間的定義被推廣到任何全序集 $T\$ 的子集 $S\$，使得若 $x\$ 和 $y\$ 均屬於 $S\$，且 $x < z < y\$，則 $z\$ 亦屬於 $S\$ 。

特別重要的情況是當 $T = \mathbb{R}$。

$\mathbb{R}$ 的區間有以下十一種 $(a\$ 和 $b\$ 為實數且 $a < b)\$：

1. $(a, b) = \{ x | a < x < b \}\$
2. $[a, b] = \{ x | a \le x \le b \}$
3. $[a, b) = \{ x | a \le x < b \}$
4. $(a, b] = \{ x | a < x \le b \}$
5. $(a, \infty) = \{ x | x > a \}$
6. $[a, \infty) = \{ x | x \ge a \}$
7. $(-\infty, b) = \{ x | x < b \}$
8. $(-\infty, b] = \{ x | x \le b \}$
9. $(-\infty, \infty) = \mathbb{R}$ 自身，實數集
10. $[a, a] = \{a\}\$，即單元素集合
11. $\varnothing$，即空集

＃1、＃5、＃7、＃9和＃11稱為「開區間」（因為它們是開集），＃2、＃6、＃8、＃9、＃10和＃11稱為「閉區間」（因為它們是閉集）。＃3和＃4有時稱為「半開區間」或「半閉區間」。＃9和＃11同時為「開」和「閉」，並非「半開」、「半閉」。

＃1、＃2、＃3、＃4、＃10和＃11有界區間；＃5、＃6、＃7、＃8和＃9為無界區間。＃10為單點。

區間算術

區間算術又稱區間數學、區間分析、區間計算，在1950、60年代引進以作數值分析上計算捨去誤差的工具。

$T \times S = \{ x |$ 屬於 $T\$ 的某些 $y\$，及屬於 $S\$ 的某些 $z\$，使得 $x = y \times z \}$.

區間算術的基本運算是，對於實數線上的子集 $[a,b]\$ 及 $[c,d]\$：

• $[a,b] + [c,d] = [a+c, b+d]\$
• $[a,b] - [c,d] = [a-c, b-d]\$
• $[a,b] \times [c,d] = [\min (ac, ad, bc, bd), \max (ac, ad, bc, bd)]\$
• $[a,b] / [c,d] = \left[ \min \left(\frac{a}{c}, \frac{a}{d}, \frac{b}{c},\frac{b}{d} \right), \max \left( \frac{a}{c}, \frac{a}{d}, \frac{b}{c},\frac{b}{d} \right) \right] \$

被一個包含零的區間除，在基礎區間算術上無定義。

加法和乘法符合交換律、結合律和子分配律:集X ( Y + Z )是XY + XZ的子集。

另一種寫法

在法国及其他一些欧洲国家，和國際標準化組織編制的ISO 31-11，用 $]$ 与 $[$ 代替 $($ 与 $)$ 來表示开区间，例如：

• $]a, b[ \ = \{ x | a < x < b \}$
• $[a, b] = \{ x | a \le x \le b \}$
• $[a, b[ \ = \{ x | a \le x < b \}$
• $]a, b] = \{ x | a < x \le b \}$

在小數點以逗號來表示的情況下，為免產生混淆，分隔兩數的逗號要用分號來代替。例如 $[1,2.3]\$ 就要寫成 $[1;2,3]\$。否則，若只把小數點的句點寫成逗號，之前的例子就會變成 [1,2,3] 了。這時就不能知道究竟是 1.2 與 3 之間, 還是 1 與 2.3 之間的閉區間了。