區間

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在數學上，區間是一個關於數列和集的概念。

目录

[编辑] 簡說

在基礎代數，傳統上區間指一個集，包含在某兩個特定實數之間的所有實數，亦可能同時包含該兩個實數。區間表示法是表示一個變數在某個區間內的方式。通用的區間表示法中，圓括號表示「排除」，方括號表示「包括」。例如，區間(10,20)表示所有在10和20之間的實數，但不包括10或20。另一方面，[10,20]表示所有在10和20之間的實數，以及10和20。

[编辑] 嚴格定義

區間的定義被推廣到任何全序集 T 的子集 S，使得若 x 和 y 均屬於 S，且 x < z < y，則 z 亦屬於 S 。

特別重要的情況是當 T = \mathbb{R}。

\mathbb{R} 的區間有以下十一種（a 和 b 為實數且 a < b）：

  1. (a,b) = {x | a < x < b}
  2. [a, b] = \{ x | a \le x \le b \}
  3. [a, b) = \{ x | a \le x < b \}
  4. (a, b] = \{ x | a < x \le b \}
  5. (a, \infty) = \{ x | x > a \}
  6. [a, \infty) = \{ x | x \ge a \}
  7. (-\infty, b) = \{ x | x < b \}
  8. (-\infty, b] = \{ x | x \le b \}
  9. (-\infty, \infty) = \mathbb{R} 自身，實數集
  10. [a,a] = {a}，即單元素集合
  11. \varnothing，即空集

＃1、＃5、＃7、＃9和＃11稱為「開區間」（因為它們是開集），＃2、＃6、＃8、＃9、＃10和＃11稱為「閉區間」（因為它們是閉集）。＃3和＃4有時稱為「半開區間」或「半閉區間」。＃9和＃11同時為「開」和「閉」，並非「半開」、「半閉」。

＃1、＃2、＃3、＃4、＃10和＃11有界區間；＃5、＃6、＃7、＃8和＃9為無界區間。＃10為單點。

[编辑] 區間算術

區間算術又稱區間數學、區間分析、區間計算，在1950、60年代引進以作數值分析上計算捨去誤差的工具。

T × S = { x |屬於T的某些y，及屬於S的某些z，使得x = y × z }.

區間算術的基本運算是，對於實數線上的子集[a,b]及[c,d]：

  • [a,b] + [c,d] = [a+c, b+d]
  • [a,b] - [c,d] = [a-d, b-c]
  • [a,b] * [c,d] = [min (ac, ad, bc, bd), max (ac, ad, bc, bd)]
  • [a,b] / [c,d] = [min (a/c, a/d, b/c, b/d), max (a/c, a/d, b/c, b/d)]

被一個包含零的區間除，在基礎區間算術上無定義。

加法和乘法符合交換律、結合律和子分配律:集X ( Y + Z )是XY + XZ的子集。

[编辑] 另一種寫法

在法国及其他一些欧洲国家，和國際標準化組織編制的ISO 31-11，用 ] 与 [ 代替 ( 与 ) 來表示开区间，例如：

  • ]a, b[ \ = \{ x | a < x < b \}
  • [a, b] = \{ x | a \le x \le b \}
  • [a, b[ \ = \{ x | a \le x < b \}
  • ]a, b] = \{ x | a < x \le b \}

在小數點以逗號來表示的情況下，為免產生混淆，分隔兩數的逗號要用分號來代替。例如 [1,2.3] 就要寫成 [1;2,3]。否則，若只把小數點的句點寫成逗號，之前的例子就會變成 [1,2,3] 了！這時就不能知道究竟是 1.2 與 3 之間, 還是 1 與 2.3 之間的閉區間了。

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