康托尔集

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在数学中,康托尔集,由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入[1][2](但由亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯英语Henry John Stephen Smith在1875年发现[3][4][5][6]),是位于一条线段上的一些点的集合,具有许多显著和深刻的性质。通过考虑这个集合,康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合,但是最常见的构造是康托尔三分点集,由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造,作为一个更加一般的想法——一个无处稠密完备集的例子。

康托尔集的构造[编辑]

康托尔集是由不断去掉线段的中间三分之一而得出。首先从区间[0, 1]中去掉中间的三分之一(1/32/3),留下两条线段:[0, 1/3] ∪ [2/3, 1]。然后,把这两条线段的中间三分之一都去掉,留下四条线段:[0, 1/9] ∪ [2/91/3] ∪ [2/37/9] ∪ [8/9, 1]。把这个过程一直进行下去,其中第n个集合为:

 \frac{C_{n-1}}{3} \cup \left(\frac{2}{3}+\frac{C_{n-1}}{3}\right).

康托尔集就是由所有过程中没有被去掉的区间[0, 1]中的点组成。

下面的图显示了这个过程的最初六个步骤。

Cantor set in seven iterations.svg

有些学术论文详细描述了康托尔集的明确公式。[7][8]

参见[编辑]

註釋[编辑]

  1. ^ Georg Cantor (1883) "Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten V" [On infinite, linear point-manifolds (sets)],Mathematische Annalen, vol. 21, pages 545–591.
  2. ^ H.-O. Peitgen, H. Jürgens, and D. Saupe, Chaos and Fractals: New Frontiers of Science 2nd ed. (N.Y., N.Y.: Springer Verlag, 2004), page 65.
  3. ^ Henry J.S. Smith (1875) “On the integration of discontinuous functions.” Proceedings of the London Mathematical Society, Series 1, vol. 6, pages 140–153.
  4. ^ “康托尔集”还由Paul du Bois-Reymond发现(1831–1889)。参见:Paul du Bois-Reymond (1880) “Der Beweis des Fundamentalsatzes der Integralrechnung,” Mathematische Annalen, vol. 16, pages 115–128的第128页的脚注。“康托尔集”还由Vito Volterra在1881年发现(1860–1940)。参见:Vito Volterra (1881) “Alcune osservazioni sulle funzioni punteggiate discontinue” [Some observations on point-wise discontinuous functions],Giornale di Matematiche, vol. 19, pages 76–86.
  5. ^ José Ferreirós, Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics (Basel, Switzerland: Birkhäuser Verlag, 1999), pages 162–165.
  6. ^ Ian Stewart, Does God Play Dice?: The New Mathematics of Chaos
  7. ^ Mohsen Soltanifar, On A sequence of cantor Fractals, Rose Hulman Undergraduate Mathematics Journal, Vol 7, No 1, paper 9, 2006.
  8. ^ Mohsen Soltanifar, A Different Description of A Family of Middle-a Cantor Sets, American Journal of Undergraduate Research, Vol 5, No 2, pp 9–12, 2006.

參考文獻[编辑]

外部連結[编辑]