乌雷松引理

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拓扑学中,乌雷松引理,有时称为“拓扑学中的第一非平凡事实”,通常用于构造正规空间上不同性质的连续函数。这个定理有广泛的应用,因为所有的度量空间豪斯多夫空间都是正规的。

这个引理是以帕维尔·萨穆伊洛维奇·乌雷松命名的。

正式表述[编辑]

乌雷松引理说明,X是一个正规拓扑空间,当且仅当只要ABX不交闭子集,就存在一个从X单位区间[0, 1]的连续函数:

f : X → [0, 1],

使得对于所有A内的a,都有f(a) = 0,而对于所有B内的b,都有f(b) = 1。

任何满足这个性质的函数f都称为乌雷松函数

注意在以上的表述中,我们并不需要f(x) ≠ 0和≠ 1,对于AB外部的x。这只在完备正规空间中才有可能。

乌雷松引理导致了其它拓扑空间,例如“吉洪诺夫性质”和“完全豪斯多夫空间”的表述。例如,这个引理的一个推论是,正规的T1空间吉洪诺夫空间

证明[编辑]

乌雷松的洋葱函数。

对于每一个二进分数r ∈ (0,1),我们将构造X的一个开子集U(r),使得:

  1. U(r)包含A,且对于所有的rU(r)都与B不交;
  2. 对于r < sU(r)的闭包位于U(s)内。

有了这些集合以后,我们便定义f(x) = inf { r : xU(r) }对于所有的xX。利用二进有理数是稠密的事实,便不难证明f是连续的,且具有性质f(A) ⊆ {0}和f(B) ⊆ {1}。

为了构造集合U(r),我们还需要做更多事情:我们构造集合U(r)和V(r),使得:

  • 对于所有的r,都有AU(r)且BV(r);
  • 对于所有的rU(r)和V(r)都是开集和不交的;
  • 对于r < sV(s)包含在U(r)的补集之内,而V(r)的补集包含在U(s)之内。

由于V(r)的补集是闭集,且含有U(r),因此从最后一个条件可以推出上面的条件(2)。

我们使用数学归纳法。由于X是正规的,我们便可以找出两个不交的开集U(1/2)和V(1/2),分别含有AB。现在假设n≥1,且集合U(a/2n)和V(a/2n)对于a = 1,...,2n-1已经构造了。由于X是正规的,我们便可以找出两个不交的开集,分别含有V(a/2n)的补集和U((a+1)/2n)的补集。称这两个开集为U((2a+1)/2n+1)和V((2a+1)/2n+1),并验证以上的三个条件成立。

参考文献[编辑]