孤点

"0" is an isolated point of A

在拓扑学中，考虑 集合 X 中的点 x，如果 x 属于 X 的 子集 S，且在 X 中存在一个 x 的邻域，其中不包括 S 中的其他点，那么 x 叫做子集 S 的一个 孤点或孤立点。

特别的，在欧几里得空间（或度量空间）中，考虑集合 S 及其中的一个点 x，如果存在一个包含 x 的开球，其中不包含 S 中的其他点，那么 x 是 S 的孤点。等价的说，集合 S 中的一个点 x 是孤点，当且仅当 x 不是 S 的 会聚点。

只由孤点构成的集合称为离散集合。欧几里得空间的离散子集都是可数的；但是一个可数集合不一定是离散的，比如有理数。参见离散空间。

没有孤点的闭集叫做完美集合(完备集)。

孤点的数目是拓扑不变的，就是说两个同胚的拓扑空间 $X$ 和 $Y$ 有相同数目的孤点。

举例

• 对集合 $S=\{0\}\cup [1, 2]$，点 0 是孤点。
• 对集合 $S=\{0\}\cup \{1, 1/2, 1/3, \dots \}$，每一个点 1/k 是孤点，但 0 不是孤点，因为在 S 中可以找到任意接近 0 的点。
• 自然数集合 N={0, 1, 2, ...} 是一个离散集合。

外部链接

• http://www.cool-rr.com/protein.htm Rigorous proof of isolated points' countability.