孤点

"0" is an isolated point of A

在数学分支拓扑学中，集合 S 的一个点 x 叫做孤点或孤立点，如果存在 x 的一个不包含 S 中其他点的邻域。特别的，在欧几里得空间（或度量空间）中，x 是 S 的孤点，若存在 x 的一个开球不包含 S 中的其他点。等价的说，一个点 x 不是孤立的，当且仅当 x 是会聚点。

只由孤点构成的集合称为离散集合。欧几里得空间的离散子集是可数的；但是一个集合可以是可数的但不是离散的，比如有理数。参见离散空间。

没有孤点的闭集叫做完美集合(完备集)。

孤点的数目是拓扑不变的，就是说如果两个拓扑空间 $X$ 和 $Y$ 是同胚的，则每个中孤点的数目是相等的。

举例

• 对集合 $S=\{0\}\cup [1, 2]$，点 0 是孤点。
• 对集合 $S=\{0\}\cup \{1, 1/2, 1/3, \dots \}$，每一个点 1/k 是孤点，但 0 不是孤点，因为在 S 中可以找到任意接近 0 的点。
• 自然数集合 N={0, 1, 2, ...} 是一个离散集合。

外部链接

• http://www.cool-rr.com/protein.htm Rigorous proof of isolated points' countability.