计盒维数

在分形几何中, 计盒维数也称为盒维数、闵可夫斯基维数，是一种测量距离空间(X, d)（特别是豪斯多夫空间）比如欧氏空间 Rⁿ 中分形维数的计算方法。

要计算分形 S 的维数，你可以想象一下把这个分形放在一个均匀分割的网格上，数一数最小需要几个格子来覆盖这个分形。通过对网格的逐步精化，查看所需覆盖数目的变化，从而计算出计盒维数。

假设当格子的边长是 ε 时，总共把空间分成 N 个格子，那么计盒维数就是：

$\dim_{\rm box}(S) := \lim_{\varepsilon \to 0} \frac {\log N(\varepsilon)}{\log (1/\varepsilon)}$

当极限不收敛时，我们必须指出顶盒维数或底盒维数，或者说，计盒维数仅在和顶盒维数与底盒维数相等时才是有定义的。顶盒维数也称为能量维数、科莫格洛夫维数、科莫格洛夫容积，或者闵可夫斯基上界维数，类似的可定义闵可夫斯基下界维数。

计盒维数以及顶盒维数、底盒维数都和更常用的豪斯多夫维数有关，而且它们通常是一致的，只有在极特别的情况下才有区别。更详细的区别参考下文。另一个分形维的度量是协相关维数。

定义的变化 [编辑]

盒子可以是方的，也可以是圆的，我们可以用半径为 ε 的球来覆盖空间，并逐步减小球的半径。使用球的好处是，它比方形的数学形式更简单，并且更容易应用到更一般的距离空间，而方形仅在欧几里德空间中才有直观的定义。

而使用方形的格子也有它的好处，在很多情况下方格的 N (ε) 计算更简单，并且盒子的数目和它的覆盖数是相等的，而同样的覆盖数，需要更多个球。

计盒维数是定义分形维的若干种方法之一。对于很多定义良好的分形来说，这些不同分数维的值是相等的。比如说，对康托集来说，它的豪斯多夫维数、底盒维数、顶盒维数都等于 log(2)/log(3)。然而它们的定义是不同的。

计盒维数和豪斯多夫维数存在如下不等式：

$\dim_\operatorname{Haus} \leq \dim_\operatorname{lower box} \leq \dim_\operatorname{upper box}$

一般的这两个不等式可能是严格不等的。

【未完】