计盒维数

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分形几何中, 计盒维数也称为盒维数闵可夫斯基维数,是一种测量距离空间(X, d)(特别是豪斯多夫空间)比如欧氏空间 Rn分形维数的计算方法。

要计算分形 S 的维数,你可以想象一下把这个分形放在一个均匀分割的网格上,数一数最小需要几个格子来覆盖这个分形。通过对网格的逐步精化,查看所需覆盖数目的变化,从而计算出计盒维数。

假设当格子的边长是 ε 时,总共把空间分成 N 个格子,那么计盒维数就是:

\dim_{\rm box}(S) := \lim_{\varepsilon \to 0} \frac {\log N(\varepsilon)}{\log (1/\varepsilon)}

极限不收敛时,我们必须指出顶盒维数或底盒维数,或者说,计盒维数仅在和顶盒维数与底盒维数相等时才是有定义的。顶盒维数也称为能量维数科莫格洛夫维数科莫格洛夫容积,或者闵可夫斯基上界维数,类似的可定义闵可夫斯基下界维数

计盒维数以及顶盒维数、底盒维数都和更常用的豪斯多夫维数有关,而且它们通常是一致的,只有在极特别的情况下才有区别。更详细的区别参考下文。另一个分形维的度量是协相关维数

定义的变化[编辑]

盒子可以是方的,也可以是圆的,我们可以用半径为 ε 的球来覆盖空间,并逐步减小球的半径。使用球的好处是,它比方形的数学形式更简单,并且更容易应用到更一般的距离空间,而方形仅在欧几里德空间中才有直观的定义。

而使用方形的格子也有它的好处,在很多情况下方格的 N (ε) 计算更简单,并且盒子的数目和它的覆盖数是相等的,而同样的覆盖数,需要更多个球。

与豪斯多夫维数的关系[编辑]

计盒维数是定义分形维的若干种方法之一。对于很多定义良好的分形来说,这些不同分数维的值是相等的。特别是当分型满足开集条件时,这些维数一致。比如说,对康托集来说,它的豪斯多夫维数、底盒维数、顶盒维数都等于 log(2)/log(3)。然而它们的定义是不同的。

计盒维数和豪斯多夫维数存在如下不等式:

\dim_\operatorname{Haus} \leq  \dim_\operatorname{lower box} \leq \dim_\operatorname{upper box}

一般的这两个不等式可能是严格不等的。当分型在不同尺寸有着不同行为时,顶盒维数可能大于底盒维数。例如,验证一下区间 [0,1] 中满足以下条件的数集

对于任何 n, 所有在第 22n 位和第 22n+1 − 1 位之间(含两端)的数字均为 0

在“奇位置区间”的数位没有限制,例如,在第 22n+1 位和 22n+2 − 1 位间的数字没有限制,可以取任何值。该分型的顶盒维度为 2/3 而底盒维度为 1/3。这点很容易通过计算N(ε) (\varepsilon=10^{-2^n})并注意到这些值在 n 分别取奇数和偶数时表现不同来证实。

更多例子:有理数集 \mathbb{Q} ,是一可数集故而其 \dim_{\operatorname{Haus}} = 0 ,但是其 \dim_{\operatorname{box}} = 1 因为其闭包 \mathbb{R} 的维度是 1 。实际上,

 \dim_{\operatorname{box}}  \left\{0,1,\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots\right\} = \frac{1}{2}.

这些例子显示了增添可数集能改变计盒维度,揭示了这种维度的一种不稳定性。

参見[编辑]

参考[编辑]