覆盖 (拓扑学)

在数学中，若 $X$ 是一個集合搜集 $C$ 索引的集合中并集的子集，則集合搜集 $C$ 是集合 $X$ 的覆盖。用符号来说，如果 $C = \lbrace U_\alpha\rbrace_{\alpha \in A}$ 是 $X$ 的子集索引族，则 $C$ 是如下条件下的覆盖（定义可参见: Gamelin 与 Greene 第19頁或 Kelly 第49頁）

$X \subseteq \bigcup_{\alpha \in A}U_{\alpha}$。

更一般的说，如果 $Y$ 是 $X$ 的子集，而 $C$ 是 $X$ 的子集 $U_\alpha$ 的搜集，它的并集包含 $Y$，则 $C$ 被称为是 $Y$ 的覆盖。也就是 $C$ 是 $Y$ 的覆盖如果

$\bigcup_{\alpha \in A}U_{\alpha} \supseteq Y$ 。

拓撲學中覆蓋

覆盖通常用在拓扑学的上下文中。如果集合 $X$ 是拓扑空间，我们称 $C$ 是开覆盖，如果它的每个成员都是开集（就是说每个 $U_\alpha$ 都包含在 $T$ 中，这里的 $T$ 是 $X$ 上的拓扑）。

如果 $C$ 是 $X$ 的覆盖，则 $C$ 的子覆盖是 $C$ 的仍覆盖 $X$ 的子集。

$X$ 的开覆盖被称为是局部有限的，如果所有 $X$ 的点都有只与这个覆盖的有限多个集合有交集的邻域。用符号来说，$C=\{U_\alpha\}$ 是局部有限的，如果对于任何 $x \in X$，存在某个 $x$ 的邻域 $N\left(x\right)$ 使得集合

$\left\{ \alpha \in A : U_{\alpha} \cap N(x) \neq \emptyset \right\}$

是有限的。

精細

$X$ 的覆盖 $C$ 的精細（或稱加細）是 $X$ 的新覆盖 $D$ 使得在 $D$ 中的所有集合都包含在 $C$ 的某个集合中。用符号来说，覆盖 $D=\{V_\beta\}_{\beta\in B}$ 是覆盖 $C=\{U_\alpha\}_{\alpha\in A}$ 的精細，如果对所有 $V_\beta$ 存在某个 $U_\alpha$ 使得 $V_\beta \subseteq U_\alpha$。

所有子覆盖也是精細，反之不然。但是注意一般的说精細将比原始覆盖有更多的集合。

紧致性

覆盖的这个词语经常用来定义与紧致性有关的拓扑性质。一个拓扑空间 X 被称为

• 紧致的，如果所有开覆盖有有限子覆盖。
• 林德勒夫的，如果所有开覆盖都有可数子覆盖。
• 元紧致的，如果所有开覆盖都有一个点有有限开精細。
• 仿紧致的，如果所有开覆盖允许局部有限、开精細。

引用

1. Theodore W. Gamelin & Robert Everist Greene. Introduction to Toplogy. Second Edition. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40680-6 （英文）. 
2. John L. Kelly. General Topology. Princeton, NJ.: D. Van Nostrand Company, Inc.. 1955 （英文）.