分形
碎形通常被定義為「一個粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數個部分，且每一部分都（至少近似地）是整體縮小後的形狀」[1]，即具有自相似的性質。碎形思想的根源可以追溯到公元17世紀，而對碎形使用嚴格的數學處理則是始於一個世紀後卡爾·魏爾施特拉斯、格奧爾格·康托爾和費利克斯·豪斯多夫對連續而不可微函數的研究。但是碎形（fractal）一詞直到1975年才由本華·曼德博創造出，來自拉丁文 frāctus，有「零碎」、「破裂」之意。一個數學意義上碎形的生成是基於一個不斷迭代的方程式，即一種基於遞歸的反饋系統[2]。碎形有幾種類型，可以分別依據表現出的精確自相似性、半自相似性和統計自相似性來定義。雖然碎形是一個數學構造，它們同樣可以在自然界中被找到，這使得它們被劃入藝術作品的範疇。碎形在醫學、土力學、地震学和技术分析中都有应用。
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[编辑] 特徵
碎形一般有以下特質：[3]
- 在任意小的尺度上都能有精細的結構；
- 太不規則，以至无论是其整体或局部都難以用傳統歐氏幾何的語言來描述；
- 具有（至少是近似的或统计的）自相似形式；
- 一般地，其“碎形维数”（通常為豪斯多夫維數）會大於拓扑维数（但在空間填充曲線如希爾伯特曲線中為例外）；
- 在多數情況下有著簡單的遞歸定義。
因為碎形在所有的大小尺度下都顯得相似，所以通常被認為是無限複雜的（以不严谨的用詞來說）。自然界裡一定程度上類似碎形的事物有雲、山脈、閃電、海岸線、雪片、多種蔬菜（如花椰菜和西蘭花）和動物的毛皮的圖案等等。但是，並不是所有自相似的東西都是碎形，如實直線雖然在形式上是自相似的，但卻不符合碎形的其他特質，比如說它能被傳統的歐氏幾何語言所描述。
碎形的圖像可以用碎形生成軟件作出。儘管用此類軟件生成的圖像並不具備上述碎形的特徵，比如說存在放大後無上述特徵的局部區域，但是這些圖像通常仍然被稱為碎形。而且這些圖像可能含有由計算或顯示造成的人為偏差——一些不屬於碎形的特徵。
[编辑] 歷史
17世紀時，數學家兼哲學家萊布尼茨思考過遞迴的自相似，碎形的數學從那時開始漸漸地成形（雖然他誤認只有直線會自相似）。
直到1872年，卡爾·魏爾施特拉斯才給出一個具有的處處連續但處處不可微這種非直觀性質的函数例子，其圖像在現今被認為是碎形。1904年，海里格·馮·科赫不滿意魏爾施特拉斯那抽象且解析的定義，用更加幾何化的定義給出一個類似的函數，今日稱之為科赫雪花。1915年瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基造出了謝爾賓斯基三角形；隔年，又造出了謝爾賓斯基地毯。1938年，保羅·皮埃爾·萊維在他的論文《Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole》中將自相似曲線的概念更進一步地推進，他在文中描述了一個新的碎形曲線－萊維C形曲線。格奧爾格·康托爾也給出一個具有不尋常性質的實直線上的子集－康托爾集，今日也被認為是碎形。
複數平面的迭代函數在19世紀末20世紀初被儒勒·昂利·庞加莱、菲利克斯·克萊因、皮埃爾·法圖和加斯東·茹利亞等人所研究，但直到現在有電腦繪圖的幫忙，許多他們所發現的函數才顯現出其美麗來。
1960年代，本華·曼德博開始研究自相似，且在路易斯·弗萊·理查德森之前工作的基礎上，寫下一篇論文《英國的海岸線有多長？統計自相似和分數維度》。最終，曼德博在1975年提出了「碎形」一詞，來標記一個豪斯多夫-贝西科维奇維數大於拓扑维数的物件。曼德博以顯著的電腦绘制圖像來描繪此一數學定義，這些圖像征服了大眾的想像；它們中許多都基於递归，導致了大眾對術語「碎形」的通俗理解。
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[编辑] 示例
一類碎形的典型例子有：康托爾集、謝爾賓斯基三角形和地毯、門格海綿、龍形曲線、空間填充曲線和科赫曲線。其他的例子包括李雅普諾夫分形及克萊因群（Kleinian Group）的極限集。碎形可以是確定性的，如上述所有的碎形；也可以是隨機的（即非確定性的）。比如說，平面上布朗運動的軌跡的豪斯多夫維數等於2。
混沌動力系統有時候會和碎形聯系起來。動力系統的相空間中的對象可以是碎形（參見吸引子），一族系統的參數空間中的對象也可以是碎形。一個有意思的例子就是曼德博集。這個集合包含很多完整的圓盤，所以它的豪斯多夫維數等於它的拓扑維數2；但是真正令人驚訝的是，曼德博集的邊界的豪斯多夫維數也是2（而拓扑維數是1），這個結果由宍倉光廣（Mitsuhiro Shishikura）在1991年证明。一个与曼德博集紧密相关的碎形是朱利亚集。
[编辑] 造法
四個製造碎形的一般技術如下：
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- 逃逸時間碎形：由空間（如複平面）中每一點的遞迴關係式所定義，例如曼德博集合、茹利亚集合、火燒船碎形、新碎形和李奧普諾夫碎形等。由一次或兩次逃逸時間公式的迭代生成的二維向量場也會產生碎形，若點在此一向量場中重複地被通過。
- 迭代函數系統：這些碎形都有著固定的幾何替代規則。康托爾集、謝爾賓斯基三角形、謝爾賓斯基地毯、空間填充曲線、科赫雪花、龍形曲線、丁字方形、孟傑海綿等都是此類碎形的一些例子。
- 隨機碎形：由隨機而無確定過程產生，如布朗運動的軌跡、萊維飛行、碎形風景和布朗樹等。後者會產生一種稱之為樹狀碎形的碎形，如擴散限制聚集或反應限制聚集束。
- 奇異吸引子：以一個映射的迭代或一套會顯出混沌的初值微分方程所產生。
[编辑] 分類
碎形也可以依據其自相似來分類，有如下三種：
[编辑] 應用
如上所述，隨機碎形可以用來描述許多高度不規則的現實世界的物件。其他碎形的應用亦包括[4]：
- 醫學中組織切片的歸類
- 碎形風景或海岸線複雜性
- 酵素/酵素學（米曼氏動力學）
- 製做新音樂
- 製作許多的藝術形式
- Signal and image compression
- 地震學
- 土壤力學中的碎形
- 電腦及電視遊戲設計，尤其是有機背景的CG和部份的過程生成
- 斷口分析和斷裂力學
- 碎形天線－使用碎形形狀的小尺寸天線
- 小角度X光散射
- 新嬉皮T恤和其他的時尚服飾
- 偽裝圖樣的製作，如MARPAT
- 數位日晷
- 價格序列的技術分析（見艾略特波浪理論）
- 在電腦科學，利用碎形分析可以對檔案進行壓縮處理，特別是字型的效果更佳。微軟的新細明體、標楷體及金梅字型等均採用了碎形分析，把字型分解成更基本的筆劃碎形，從而令字型檔的檔案大小比傳統的描邊字型減少了數倍。
[编辑] 软件
[编辑] 参看
[编辑] 参考文献
- ^ Mandelbrot, B.B.. The Fractal Geometry of Nature. W.H. Freeman and Company.. 1982. ISBN 0-7167-1186-9.
- ^ Briggs, John. Fractals:The Patterns of Chaos. London : Thames and Hudson, 1992.. 1992: 148. ISBN 0500276935, 0500276935.
- ^ Falconer, Kenneth. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons, Ltd.. 2003: xxv. ISBN 0-470-84862-6.
- ^ Applications [2007-10-21].
- [1] Mandelbrot,B.B.,1967,How long is the coast of Britain? Statistical selfsimilarity and fractional dimension,Science,155,636~638
- [2] Mandelbrot,B.B.,1977,Fractals,Form,Chance and Dimension,San Francisco,W.H.Freeman&Co.
- [3] Mandelbrot,B.B.,1982,The Fractal Geometry of Nature,San Francisco,Freeman.
- [4] 李水根，2004，分形，北京：高等教育出版社
- [5] 陈顒 陈凌，2005，分形几何学，北京:地震出版社
[编辑] 外部链接
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