分形

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曼德博集合碎形中的一個很有名的例子。
曼德博集合的局部放大圖

分形英语Fractal),又稱碎形,通常被定義為「一個粗糙或零碎的幾何形狀,可以分成數個部分,且每一部分都(至少近似地)是整體縮小後的形狀」[1],即具有自相似的性質。碎形思想的根源可以追溯到公元17世紀,而對碎形使用嚴格的數學處理則始於一個世紀後卡爾·魏爾施特拉斯格奧爾格·康托爾費利克斯·豪斯多夫連續而不可微函數的研究。但是碎形(fractal)一詞直到1975年才由本華·曼德博創造出,來自拉丁文 frāctus,有「零碎」、「破裂」之意。一個數學意義上碎形的生成是基於一個不斷迭代方程式,即一種基於遞歸反饋系統[2]。碎形有幾種類型,可以分別依據表現出的精確自相似性、半自相似性和統計自相似性來定義。雖然碎形是一個數學構造,它們同樣可以在自然界中被找到,這使得它們被劃入藝術作品的範疇。碎形在醫學土力學地震学技术分析中都有应用。

特徵[编辑]

碎形一般有以下特質:[3]

因為碎形在所有的大小尺度下都顯得相似,所以通常被認為是無限複雜的(以不严谨的用詞來說)。自然界裡一定程度上類似碎形的事物有山脈閃電海岸線雪片、植物、多種蔬菜(如花椰菜西蘭花)和動物的毛皮的圖案等等。但是,並不是所有自相似的東西都是碎形,如實直線雖然在形式上是自相似的,但卻不符合碎形的其他特質,比如說它能被傳統的歐氏幾何語言所描述。

碎形的圖像可以用碎形生成軟件作出。儘管用此類軟件生成的圖像並不具備上述碎形的特徵,比如說存在放大後無上述特徵的局部區域,但是這些圖像通常仍然被稱為碎形。而且這些圖像可能含有由計算或顯示造成的人為偏差——一些不屬於碎形的特徵。

要做出科赫雪花,將正三角形每邊中央三分之一的線段以一對同長的線段取代,形成一個等腰的「凸角」。再對上一步驟所形成的每一邊做同樣的動作。每一次迭代,總長度增加三分之一。科赫雪花即是無限次迭代的結果,有無限長的周長,但其面積還是有限的。因此,科赫雪花和其他相似構造有時會被稱為「怪獸曲線」。

歷史[编辑]

謝爾賓斯基三角形的動畫表示,只顯示出無限遞迴的最初九次。

17世紀時,數學家兼哲學家萊布尼茨思考過遞迴的自相似,碎形的數學從那時開始漸漸地成形(雖然他誤認只有直線會自相似)。

直到1872年,卡爾·魏爾施特拉斯才給出一個具有處處連續但處處不可微這種非直觀性質的函数例子,其圖像在現今被認為是碎形。1904年,海里格·馮·科赫不滿意魏爾施特拉斯那抽象且解析的定義,用更加幾何化的定義給出一個類似的函數,今日稱之為科赫雪花。1915年瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基造出了謝爾賓斯基三角形;隔年,又造出了謝爾賓斯基地毯。1938年,保羅·皮埃爾·萊維在他的論文《Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole》中將自相似曲線的概念更進一步地推進,他在文中描述了一個新的碎形曲線-萊維C形曲線格奧爾格·康托爾也給出一個具有不尋常性質的實直線上的子集康托爾集,今日也被認為是碎形。

複數平面的迭代函數在19世紀末20世紀初被儒勒·昂利·庞加莱菲利克斯·克萊因皮埃爾·法圖加斯東·茹利亞等人所研究,但直到現在有電腦繪圖的幫忙,許多他們所發現的函數才顯現出其美麗來。

1960年代,本華·曼德博開始研究自相似,且在路易斯·弗萊·理查德森之前工作的基礎上,寫下一篇論文《英國的海岸線有多長?統計自相似和分數維度》。最終,曼德博在1975年提出了「碎形」一詞,來標記一個豪斯多夫-贝西科维奇維數大於拓扑维数的物件。曼德博以顯著的電腦绘制圖像來描繪此一數學定義,這些圖像征服了大眾的想像;它們中許多都基於递归,導致了大眾對術語「碎形」的通俗理解。

朱利亞集,一個與曼德博集有關的碎形。
Mandelbrot SET 曼德博集合

示例[编辑]

一類碎形的典型例子有:康托爾集謝爾賓斯基三角形地毯門格海綿龍形曲線空間填充曲線科赫曲線。其他的例子包括李雅普諾夫分形克萊因群(Kleinian Group)的極限集。碎形可以是確定性的,如上述所有的碎形;也可以是隨機的(即非確定性的)。比如說,平面上布朗運動的軌跡的豪斯多夫維數等於2。

混沌動力系統有時候會和碎形聯系起來。動力系統相空間中的對象可以是碎形(參見吸引子),一族系統的參數空間中的對象也可以是碎形。一個有意思的例子就是曼德博集。這個集合包含很多完整的圓盤,所以它的豪斯多夫維數等於它的拓扑維數2;但是真正令人驚訝的是,曼德博集的邊界的豪斯多夫維數也是2(而拓扑維數是1),這個結果由宍倉光廣(Mitsuhiro Shishikura)在1991年证明。一个与曼德博集紧密相关的碎形是朱利亚集

完整曼德博集合
曼德博集合放大6倍
曼德博集合放大100倍
曼德博集合放大2000倍
即使將曼德博集合放大2000倍,還是會顯示出類似整個集合的精細結構。

造法[编辑]

四個製造碎形的一般技術如下:

分類[编辑]

碎形也可以依據其自相似來分類,有如下三種:

  • 精確自相似:這是最強的一種自相似,碎形在任一尺度下都顯得一樣。由迭代函數系統定義出的碎形通常會展現出精確自相似來。
  • 半自相似:這是一種較鬆的自相似,碎形在不同尺度下會顯得大略(但非精確)相同。半自相似碎形包含有整個碎形扭曲及退化形式的縮小尺寸。由遞迴關係式定義出的碎形通常會是半自相似,但不會是精確自相似。
  • 統計自相似:這是最弱的一種自相似,這種碎形在不同尺度下都能保有固定的數值或統計測度。大多數對「碎形」合理的定義自然會導致某一類型的統計自相似(碎形維數本身即是個在不同尺度下都保持固定的數值測度)。隨機碎形是統計自相似,但非精確及半自相似的碎形的一個例子。

應用[编辑]

如上所述,隨機碎形可以用來描述許多高度不規則的現實世界的物件。其他碎形的應用亦包括[4]

软件[编辑]

参看[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ Mandelbrot, B.B. The Fractal Geometry of Nature. W.H. Freeman and Company. 1982. ISBN 0-7167-1186-9. 
  2. ^ Briggs, John. Fractals:The Patterns of Chaos. London : Thames and Hudson, 1992. 1992: 148. ISBN 0500276935. 
  3. ^ Falconer, Kenneth. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons, Ltd. 2003: xxv. ISBN 0-470-84862-6. 
  4. ^ Applications. [2007-10-21]. 
  • Mandelbrot,B.B.,1967,How long is the coast of Britain? Statistical selfsimilarity and fractional dimension,Science,155,636~638
  • Mandelbrot,B.B.,1977,Fractals,Form,Chance and Dimension,San Francisco,W.H.Freeman&Co.
  • Mandelbrot,B.B.,1982,The Fractal Geometry of Nature,San Francisco,Freeman.
  • 刘华杰. 2000. 芒德勃罗:沿着博物学传统走来,见:《以科学的名义》,福州:福建教育出版社.
  • 刘华杰. 1997. 分形艺术,长沙:湖南科学技术出版社.

外部链接[编辑]