门格海绵

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门格海绵

门格海绵分形的一种。它是一个通用曲线,因为它的拓扑维数为一,且任何其它曲线都与门格海绵的某个子集同胚。它有时称为门格-谢尔宾斯基海绵谢尔宾斯基海绵。它是康托尔集谢尔宾斯基地毯在三维空间的推广。它首先由奥地利数学家卡尔·门格在1926年描述,当时他正在研究拓扑维数的概念。

结构[编辑]

门格海绵的结构可以用以下方法形象化:

  1. 从一个正方体开始。(第一个图像)
  2. 把正方体的每一个面分成9个正方形。这将把正方体分成27个小正方体,像魔方一样。
  3. 把每一面的中间的正方体去掉,把最中心的正方体也去掉,留下20个正方体(第二个图像)。
  4. 把每一个留下的小正方体都重复第1-3个步骤。

把以上的步骤重复无穷多次以后,得到的图形就是门格海绵。

Menger sponge (Level 0-3).jpg

性质[编辑]

门格海绵的每一个面都是谢尔宾斯基地毯;同时,门格海绵与原先立体的任何一条对角线的交集都是康托尔集

门格海绵是一个闭集;由于它也是有界的,根据海涅-博雷尔定理,它是一个紧集。更进一步,门格海绵是不可数集,且具有勒贝格测度0。

门格海绵的拓扑维数是一,与任何曲线一样。门格在1926年证明了,它是一个通用曲线,就是说任何一维曲线都与门格海绵的一个子集同胚,这里的曲线是指任何勒贝格覆盖维数为一的度量空间

门格海绵的豪斯多夫维为(ln 20) / (ln 3)(大约2.726833)。

正式定义[编辑]

正式地,门格海绵可以定义如下:

M := \bigcap_{n\in\mathbb{N}} M_n

其中M0单位立方体,且:

M_{n+1} := \left\{\begin{matrix}
(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: & 
\begin{matrix}\exists i,j,k\in\{0,1,2\}: (3x-i,3y-j,3z-k)\in M_n \end{matrix}
\end{matrix}\right\}且i、j和k中最多只有一个等于1。

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  • Karl Menger, General Spaces and Cartesian Spaces, (1926) Communications to the Amsterdam Academy of Sciences. English translation reprinted in Classics on Fractals, Gerald A.Edgar, editor, Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7
  • Karl Menger, Dimensionstheorie, (1928) B.G Teubner Publishers, Leipzig.

外部链接[编辑]