豪斯多夫维数

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豪斯多夫维又称作豪斯多夫-贝塞科维奇Hausdorff-Besicovitch Dimension)或分维(fractional dimension),它是由数学家豪斯多夫于1918年引入的。通过豪斯多夫维可以给一个任意复杂的点集合比如分形Fractal)赋予一个维度。对于简单的几何目标比如线、长方形、长方体等豪斯多夫维等同于它们通常的几何维度或者说拓扑维度。通常来说一个物体的豪斯多夫维不像拓扑维度一样总是一个自然数而可能会是一个非整的有理数或者无理数

通俗的描述[编辑]

从直觉上来说一个集合的维数是描述这个集合中一点所需的独立参数的个数。比如要描述一个平面里的一点我们需要两个坐标xy,那么平面的维数便是2。最接近这个想法的数学模型是拓扑维度。可以预见拓扑维度必然是一个自然数。但是拓扑维度在描述某些不规则的集合比如分形的时候遭遇到了困难,而豪斯多夫维则是一个描述该种集合的恰当工具。

设想有一个由三维空间内具有有限大小的点组成的集合,N是用来覆盖这个集合内所有点所需的半径为R的球体的最少个数,则这个最小数NR的一个函数,记作N(R)。显然R越小则N越大,假设N(R)和Rd之间存在一个反比的关系,我们把这个关系记作

 N(R) \sim \frac{1}{R^d}

R趋向于0时,我们得到

d = -\lim_{R\rightarrow 0} \log_R N

这里的d就是这个集合的豪斯多夫维。

在这里除了球体以外也可以使用正方体或其它类似的物体来覆盖集合内的点。如果是在一个二维平面内则应该使用圆而非球体。总之在一个n维空间则应该使用相应的n维物体。对于一条有限长度的曲线来说所需的“球体”的个数和它的半径成反比,那么曲线的豪斯多夫维数为1。对于一个平面而言,所需的“球体”的个数明显和它的半径的平方成反比,那么这个平面的豪斯多夫维数则为2。

考察一个特殊的几何物体,这个物体由n个大小一致且互不重叠的小物体组成,这些小物体的形状和这个物体本身相同。若这些小物体和大物体的大小比例为1:m,那么这个几何物体的豪斯多夫维数为 d = \log_m n 。若这些小物体的大小不同,设每个小物体与大物体的大小比例为 m_i ,那么有 \sum_{i=1}^n \frac{1}{m_i^d} = 1。这里我们称其为相似维度。下面是两个例子:

  1. 正方形:一个正方形由9个长宽都只有它三分之一的小正方形组成,那么d = \log_3 9 = 2
  2. 科赫曲线:科赫曲线的每一部分都由4个跟它自身比例为1:3的形状相同的小曲线组成,那么它的豪斯多夫维数为 d = \log_3 4 = 1.26185950714... ,是一个无理数。
    动画描述的是科赫曲线的第一到第六次迭代。

实际上豪斯多夫维的计算并不像上面的例子那样简单,甚至可以说很不容易。请参看本条目的『计算』部分。

严格的定义[编辑]

豪斯多夫外测度: 令(X,d)为一个度量空间EX的一个子集,定义

 H^d_\delta(E) = \inf\Bigl\{\sum_{i=1}^\infty (\operatorname{diam}\;U_i)^d: \bigcup_{i=1}^\infty U_i\supseteq E,\,\operatorname{diam}\;U_i<\delta\Bigr\}.

并且E能被集族(A_j)_k所覆盖。 则E的豪斯多夫外测度被定义为:

 H^d(E) = \lim_{\delta \rightarrow 0} H^d_\delta(E).

豪斯多夫维: 豪斯多夫维被定义为豪斯多夫外测度从零变为非零值跳跃点对应的s值。严格的定义为:

\mathrm{dim}_HE=\inf \{s: H^s(E)=0\}=\sup \{s:
H^s(E)=\infty\}

计算[编辑]

豪斯多夫是不容易直接计算的,一般的可以通过计盒维数(Box-counting dimension)估计到它的一个上界,而且可以通过局部维数(点维数,Local dimension)估计到它的一个下界。