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豪斯多夫距离

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豪斯多夫距离量度度量空间子集之间的距离。

定义[编辑]

Hausdorff distance sample.svg

XY是度量空间M的两个紧子集。那麽豪斯多夫离dH(X,Y)是最小的数r使得X的闭r—邻域包含YY的闭r—邻域也包含X。换句话说,若d(x, y)M中的距离,那麽

 d_{\mathrm H}(X,Y) = \max\{\,\sup_{x \in X} \inf_{y \in Y} d(x,y),\, \sup_{y \in Y} \inf_{x \in X} d(x,y)\,\}\mbox{.} \!

这距离函数令M的所有紧子集组成的集成为度量空间,且记为F(M)。F(M)的拓扑只是依赖于M的拓扑。若M是紧的,则F(M)也是。

豪斯多夫空间也可以照样定义在M非紧子集上,但距离可能是无限大,F(M)的拓扑不只依赖于M的拓扑,也依赖于M的特有度量。非闭子集间的豪斯多夫距离可以定义为它们的闭包的豪斯多夫距离。这给予M的所有子集组成的集一个伪度量。(两个有相同闭包的子集的豪斯多夫距离是零)。

在歐幾里得几何常用一个类似概念,称为等距同构下的豪斯多夫距离。设XY是歐幾里得空间中两个紧的图形,则DH(X,Y)是dH(I(X),Y)取所有歐幾里得空间的保距变换I的最小值。这距离量度XY离等距差多少。

参见[编辑]

在數學中sup表示上界,inf表示下界. 參考網址:http://wenda.google.com.hk/wenda/thread?tid=495ea65b0146cd0a

引用[编辑]

  • Munkres, James; Topology, Prentice Hall; 2nd edition (December 28, 1999). ISBN 0131816292.