不等

数学上，不等是表明两个对象的大小或者顺序的二元关系（参见等于）。不等关系主要有四种：

• a ＜ b，即 a 小于 b
• a ＞ b，即 a 大于 b

上述两个属于严格不等。

• a ≦ b，即 a 小于等于 b
• a ≧ b，即 a 大于等于 b
• a≠b，即 a 不等于 b

将两个表达式用不等符号连起来，就构成了不等式。

若不等关系对变量的所有元素都成立，则称其为“绝对的”或“无条件的”。若不等关系只对变量的部分取值成立，而对另一部分将改变方向或失效，则称为条件不等。

不等式两边同时加或减相同的数，或者两边同时乘以或除以同一个正数，不等关系不变。不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等关系改变方向。

符号 a >> b 表示 a “远大于” b。其含义是不确定的，可以是 100 倍的差异，也可能是 10 个数量级的差异。和方程相联系，它被用来给出一个非常大的值而使方程的输出满足一个特定的结果。

性质

不等具有下列性质：

三分性：

对任意实数 a、b，只有下列之一是真的：

• a < b
• a = b
• a > b

传递性：

对任意实数 a、b、c，如果a < b，b < c，则a < c；如果a > b，b > c则a > c。

加法和减法的性质：

对任意实数 a、b、c：

• 若 $a > b$；则 $a + c > b + c$ 且 $a - c > b - c$。
• 若 $a < b$；则 $a + c < b + c$ 且 $a - c < b - c$。

乘法和除法的性质：

对任意实数 a、b、c：

• 若 c 为 正数 且 $a > b$；则 $ac > bc$ 且 ${a \over c} > {b \over c}$。
• 若 c 为 正数 且 $a < b$；则 $ac < bc$ 且 ${a \over c} < {b \over c}$。
• 若 c 为 负数 且 $a > b$；则 $ac < bc$ 且 ${a \over c} < {b \over c}$。
• 若 c 为 负数 且 $a < b$；则 $ac > bc$ 且 ${a \over c} >{ b \over c}$。

注意：当遇上不等关系求解时，比如已知A>B,C>D，不可以认为A-C>B-D。

举例

• 若 x > 0 ；则

$x^x \ge \left( \frac{1}{e}\right)^{1/e}\,$

• 若 x > 0 ；则

$x^{x^x} \ge x\,$

• 若 x, y, z > 0 ；则

$(x+y)^z + (x+z)^y + (y+z)^x > 2\,$

• 若 x, y, z > 0 ；则

$x^x y^y z^z \ge (xyz)^{(x+y+z)/3}\,$

• 若 a, b > 0 ；则

$a^a + b^b \ge a^b + b^a\,$

• 若 a, b > 0 ；则

$a^{ea} + b^{eb} \ge a^{eb} + b^{ea}\,$

• 若 a, b, c > 0 ；则

$a^{2a} + b^{2b} + c^{2c} \ge a^{2b} + b^{2c} + c^{2a}\,$

• 若 a₁, ..., a_n > 0 ；则

$a_1^{a_2}+a_2^{a_3}+\cdots+a_n^{a_1}>1$

著名的不等式

请参见不等式列表。

数学家常用不等式来限制一些不能简单地使用精确的公式得到的量。一些不等式非常常用，并有特定的名称：

• Azuma不等式
• 伯努利不等式
• 布尔不等式
• 柯西不等式
• 切比雪夫不等式
• Chernoff不等式
• Cramér-Rao不等式
• Hoeffding不等式
• 赫尔德不等式
• 平均数不等式
• 延森不等式
• 马尔可夫不等式
• 闵可夫斯基不等式
• 佩多不等式
• 三角不等式
• 內斯比特不等式
• 舒尔不等式
• 排序不等式
• 克拉克森不等式
• 格罗滕迪克不等式
• 算术-几何平均值不等式
• 三角形内角的嵌入不等式
• 克拉夫特不等式
• 切比雪夫总和不等式
• 吉布斯不等式
• 埃尔德什-莫德尔不等式
• 外森比克不等式
• 杨氏不等式
• 格朗沃尔不等式
• 樊不等式
• 牛顿不等式
• 阿达马不等式
• 马勒不等式

参见

• 二元关系
• 偏序关系
• 不等號