乘法

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3 × 4 = 12

乘法 Multiplication,加法的連續運算,同一数的若干次连加,其運算結果稱為 Product。

\underbrace{a+a+a+ \cdots +a}_{n} = a \times n

表示法[编辑]

乘法可以用幾種方法表示。以下的式子表示“五乘以二”:

  • 5 \times 2
  • 5 \cdot 2
  • (5)25(2)(5)(2)5[2][5]2[5][2]
  • 5 * 2

古代常用的方法是將兩個數並排,沒有甚麼特別的符號來表示乘法。

以「\times」表示乘法是威廉·奧特雷德最先使用,分別於一篇現時相信是於1618年他寫的附錄,和約於1628年寫作的、1631年出版的書《數學之鑰》(Clavis Mathematicae)內出現。以「\times」表示乘法是現在最流行的寫法。在電腦文書中,也有為方便鍵盤輸入而以小寫英文字母「x」替代「\times」。

以「\cdot」表示乘法現在用於德國法國等國家,最早由托马斯·哈里奥特在1631年出版的著作使用,但對這個用法較有影響力的人是萊布尼茲

因為星號「*」是鍵盤必備的符號,電腦常用星號表示乘號,第一次在計算機使用這個用法的是FORTRAN(福傳)編程語言,事實上可以追溯到更早——1659年,Johann Rahn(1622年-1676年)在Teutsche Algebra一書中首次使用;但筆算時很少使用星號。

代数中,乘號經常省略掉,形式如 5xxy。若變數多於一個字母,容易使人混淆。這種表示法不會用於只有數字時,即 5 \times 2 不會表示成 52

乘積可以用大写希臘字母Π(Pi,\Pi)來表示:

 \prod_{i=m}^{n} x_{i} := x_{m} \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \ldots \cdot x_{n-1} \cdot x_{n}

定義[编辑]

兩個整數的積是:

mn = \sum_{k=1}^n m

這是“將 m 加到自己 n 次”的簡化說法。更清晰來說:

mn = \underbrace{m+m+m+ \cdots +m}_{n}

使用上面的定義,我們很易找到一些乘法的性質:

將任何數乘以一都會等於該數本身,即1x = x,稱為單位律

將任何數乘以零,即是甚麼也沒做過,結果就是零,即0x = 0

xy自然數,乘法的递归定義:

0x = 0
xy = x + x(y - 1)

历史[编辑]

孙子筹算乘法
印度的格子乘法

最早最详细的关于十进位制乘法的规则,首见400年左右孙子算经孙子乘法在9世纪经花拉子米介绍而流行于阿拉伯国家,13世纪被翻译成拉丁文而流行西方。

印度的格子乘法在唐代流入中国,在9世纪初经花拉子米介绍到阿拉伯,但都未能流行。

計算[编辑]

  • 計算機有特別的算法來處理大數之間的相乘,見乘法算法
  • 中國小學生通常要背誦九九乘法表來學習乘法。
  • 史豐收速算法提出了用“本個 + 後進”的方式來計算乘法。
  • 尺規作圖作乘法的方法:給定長為1\,的線,以及兩條線AB\,AC\,,求長度為該兩條的線長度的積的線。解法:設該兩條線分別為AB\,AC\,AB\,垂直AC\,A\,。在AB\,上畫出點D\,使DA=1\,,連D\,C\,DC\,。畫一條通過B\,、平行DC\,的線,延長AC\,,此兩條線的交於E\,EA\,即為所求之線。

參考[编辑]