方根

在数学中，若一個數b為数a的n次方根，則bⁿ=a。当提及实数a的n次方根的时候，假定想要的是这个数的主n次方根，它使用根号$(\sqrt{\,\,})$指示为$\sqrt[n]{a}$。实数a的主n次方根是a的n次方根并有同a相同的正负号的唯一的实数b。注意如果n是偶数，负数将没有主n次方根。2次方根叫做平方根，3次方根叫做立方根。

符号

根号$\sqrt{\,\,}$的起源很大程度上是推测的，但是很多人包括欧拉相信它起源自字母r，它是指示求方根运算的拉丁语和德语单词radix的首字母。没有线括号（在根号内的数上的横线）的这个符号首次印刷在1525年出现在德国数学家Thomas Rudolff的书《Die Coss》中。 由于在计算机中的输入问题，还可以使用sqrt(a,b)来表示a的b次方根。

基本运算

带有根号的运算由如下公式给出:

$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \qquad a \ge 0, b \ge 0$

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \qquad a \ge 0, b > 0$

$\sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m = a^{\frac{m}{n}},$

这裡的a和b是正数。

对于所有的非零复数a，有n个不同的复数b使得bⁿ = a，所以符号$\sqrt[n]{a}$不能无歧义的使用。n次单位根是特别重要的。

当一个数从根号形式被变换到幂形式，幂的规则仍适用（即使对分数幂），也就是

$a^m a^n = a^{m+n} \,$

$({\frac{a}{b}})^m = \frac{a^m}{b^m}$

$(a^m)^n = a^{mn} \,$

例如:

$\sqrt[3]{a^5}\sqrt[5]{a^4} = a^{5/3} a^{4/5} = a^{5/3 + 4/5} = a^{37/15}$

如果你要做加法或减法，则你应当注意下列概念是重要的。

$\sqrt[3]{a^5} = \sqrt[3]{aaaaa} = \sqrt[3]{a^3a^2} = a\sqrt[3]{a^2}$

如果你理解了如何去简化一个根式表达式，则加法和减法简单的是群的“同类项”问题。

例如

$\sqrt[3]{a^5}+\sqrt[3]{a^8}$

$=\sqrt[3]{a^3a^2}+\sqrt[3]{a^6 a^2}$

$=a\sqrt[3]{a^2}+a^2\sqrt[3]{a^2}$

$=({a+a^2})\sqrt[3]{a^2}$

不尽根数

经常简单的留着数的n次方根不解（就是留着根号）。这些未解的表达式叫做“不尽根数”（surd），它们可以接着被处理为更简单的形式或被安排相互除。

如下恒等式是操纵不尽根数的基本技术:

• $\sqrt{a^2 b} = a \sqrt{b}$

• $\sqrt[n]{a^m b} = a^{\frac{m}{n}}\sqrt[n]{b}$

• $\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$

• $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{-1} = \frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}- \sqrt{b}} {a - b}$

无穷级数

方根可以表示为无穷级数:

$(1+x)^{s/t} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\displaystyle\prod_{k=0}^n (s+t-kt)}{(s+t)n!t^n}x^n$

有$\ |x|<1$。

找到所有的方根

任何数的所有的根，实数或复数的，可以通过简单的算法找到。这个数应当首先被写为如下形式ae^iφ (参见欧拉公式)。接着所有的n次方根给出为:

$e^{(\frac{\varphi+2k\pi}{n})i} \times \sqrt[n]{a}$

对于$k=0,1,2,\ldots,n-1$，这裡的$\sqrt[n]{a}$表示a的主n次方根。

正实数

所有xⁿ = a或a的n次方根，这裡的a是正实数，的复数解由如下简单等式给出:

$e^{2\pi i \frac{k}{n}} \times \sqrt[n]{a}$

对于$k=0,1,2,\ldots,n-1$，这裡的$\sqrt[n]{a}$表示a的主n次方根。

解多项式

曾经猜想多项式的所有根可以用根号和基本运算来表达；但是阿贝尔-鲁菲尼定理断言了这不是普遍为真的。例如，方程

$\ x^5=x+1$

的解不能用根号表达。

要解任何n次方程，参见根发现算法。

求方根公式

牛顿二项式定理在开方过程中可以与牛顿切线法等价，参见

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$=$X_{n}+(A/X^{k}_{n}-X_{n})1/k$

例如开立方：　$X_{n+1}=X_{n}+(A/X^{2}_{n}-X_{n})1/3$

例如，A=5，k=3,即求：$\sqrt[3]{5}=x$

　5介于1³至2³之间（1的3次方=1，2的3次方=8）

初始值$X_{0}$可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0都可以。例如我们取$X_{0}=2.$按照公式：

第一步：$X_{1}$=2+（5/2²-2)1/3=1.75。输入值大于输出值，负反馈；

即5/2×2=1.25，1.25-2=-0.75，-0.75×1/3=-0.25，2+(-0.25)=1.75，比前面多取一位數。即取2位数值,即1.7。

第二步：$X_{2}$=1.7+（5/1.7²-1.7)1/3=1.71.输入值小于输出值，正反馈。

即5/1.7×1.7=1.73010，1.7301-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，1.7+0.01=1.71。取3位数，比前面多取一位数。

第三步：$X_{3}$=1.71+（5/1.71²-1.71)1/3=1.709.

第四步：$X_{4}$=1.709+（5/1.709²-1.709)1/3=1.7099

这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值

偏小，输出值自动转大。即5=1.7099³

当然初始值$X_{0}$也可以取1.1，1.2，1.3，。。。1.8，1.9中的任何一个,都是$X_{1}=1.7>$。當然，我們在實際中初始值最好採用中間值，即1.5。

1.5+（5/1.5²-1.5）1/3=1.7。

如果用這個公式開平方，只需將$X^{2}$改成$X^{1}$，1/3改成1/2。即

$X_{n+1}=X_{n}+(A/X_{n}-X_{n})1/2.$

例如，A=5：$\sqrt[]{5}=x$

5介於2²至3²之間。我們取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我們最好取

中間值2.5。

第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2；

即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位數2.2。

第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23；

即5/2.2=2.272727，2.272727-2.2=-0.072727，-0.072727×1/2=-0.036363，2.2+0.036363=2.23。取3位數。

第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。

即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.012×1/2=0.006,2.23+0.006=2.236.

每一步多取一位數。計算次數與計算精確度成為正比。這個方法又叫反饋開方，即使你輸入一個錯誤的數值，也沒有關係，輸出值會自動調節，接近準確值。 这个方法的依据是根据牛顿切线法得来。也可以通过牛顿二项式定理推出。

$A=(X+ -Y)^{K}$ ,展开，把A展开后代入公式就得到推导过程。X是假想值，Y是误差值$Y=(A/X^{k}_{n}-X_{n})1/k$。

$X_{n+1}$=$X_{n}$-（$X^{K}-A$）/($KX^{K-1}$)=$X_{n}$-f(X)/f'(x)=$X_{n}$+(A/$X^{K-1}-X_{n}$)1/K

$f(X)=X^{K}-A$ ; $f'(X)=X^{K-1}K$ .

参见

• 方根算法
• 幂
• 无理数

外部链接

• 高階根號求解。此法亦可求任意正實數指數值
• 立方根與高次方根
• 指數-高中數學教案
• 法国心算天才70.2秒算出200位数13次方根(图)
• 从牛顿二项式定理开方到牛顿切线法