方根

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
Nuvola mimetypes kformula kfo.png

数学中,若一個數ban次方根,則bn=a。当提及实数an次方根的时候,假定想要的是这个数的n次方根,那么它就可以用根号(\sqrt{\,\,})表示成\sqrt[n]{a}。例如:1024的主10次方根为2,就可以记作\sqrt[10]{1024}=2。定义实数a的主n次方根为an次方根,且具有与a相同的正负号的唯一实数b。如果n偶数,那么负数将没有主n次方根。习惯上,将2次方根叫做平方根,将3次方根叫做立方根

符号史[编辑]

最早的根号“√”源于字母「L」的变形(出自拉丁语latus的首字母,表示“边长”),没有线括号(即被开方数上的横线),后来数学家笛卡尔给其加上线括号,但与前面的方根符号是分开的,因此在复杂的式子显得很乱。直至18世纪中叶,数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成,并将根指数写在根号的左上角,以表示高次方根(当根指数为2时,省略不写。)。从而,形成了我们现在所熟悉的开方运算符号\sqrt{\,\,}

由于在计算机中的输入问题,我们有时还可以使用sqrt(a,b)来表示a的b次方根。

基本运算[编辑]

带有根号的运算由如下公式给出:


\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \qquad a \ge 0, b \ge 0
\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \qquad a \ge 0, b > 0

\sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m = a^{\frac{m}{n}},

这裡的ab正数

对于所有的非零复数a,有n个不同的复数b使得bn = a,所以符号\sqrt[n]{a}不能无歧义的使用。n单位根是特别重要的。

当一个数从根号形式被变换到形式,幂的规则仍适用(即使对分数幂),也就是

a^m a^n = a^{m+n} \,
({\frac{a}{b}})^m = \frac{a^m}{b^m}
(a^m)^n = a^{mn} \,

例如:

\sqrt[3]{a^5}\sqrt[5]{a^4} = a^{5/3} a^{4/5} = a^{5/3 + 4/5} = a^{37/15}

如果你要做加法减法,则你应当注意下列概念是重要的。

\sqrt[3]{a^5} = \sqrt[3]{aaaaa} = \sqrt[3]{a^3a^2} = a\sqrt[3]{a^2}

如果你理解了如何去简化一个根式表达式,则加法和减法简单的是的“同类项”问题。

例如

\sqrt[3]{a^5}+\sqrt[3]{a^8}
=\sqrt[3]{a^3a^2}+\sqrt[3]{a^6 a^2}
=a\sqrt[3]{a^2}+a^2\sqrt[3]{a^2}
=({a+a^2})\sqrt[3]{a^2}

不尽根数[编辑]

经常简单的留着数的n次方根不解(就是留着根号)。这些未解的表达式叫做“不尽根数”(surd),它们可以接着被处理为更简单的形式或被安排相互

如下恒等式是操纵不尽根数的基本技术:

  • \sqrt{a^2 b} = a \sqrt{b}
  • \sqrt[n]{a^m b} = a^{\frac{m}{n}}\sqrt[n]{b}
  • \sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}
  • (\sqrt{a}+\sqrt{b})^{-1} = \frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}- \sqrt{b}} {a - b}

无穷级数[编辑]

方根可以表示为无穷级数:

\begin{align}
&(1+x)^\frac{s}{t} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\displaystyle\prod_{k=0}^n (s+t-kt)}{(s+t)n!t^n}x^n\\
&(|x|<1)
\end{align}

找到所有的方根[编辑]

任何数的所有的根,实数或复数的,可以通过简单的算法找到。这个数应当首先被写为如下形式ae (参见欧拉公式)。接着所有的n次方根给出为:

 e^{(\frac{\varphi+2k\pi}{n})i} \times \sqrt[n]{a}

对于k=0,1,2,\ldots,n-1,这裡的\sqrt[n]{a}表示a的主n次方根。

正实数[编辑]

所有xn = aan次方根,这裡的a是正实数,的复数解由如下简单等式给出:

 e^{2\pi i \frac{k}{n}} \times \sqrt[n]{a}

对于k=0,1,2,\ldots,n-1,这裡的\sqrt[n]{a}表示a的主n次方根。

解多项式[编辑]

曾经猜想多项式的所有根可以用根号和基本运算来表达;但是阿贝尔-鲁菲尼定理断言了这不是普遍为真的。例如,方程

\ x^5=x+1

的解不能用根号表达。

要解任何n次方程,参见根发现算法

算法[编辑]

對於正數A,可以通過以下算法求得\sqrt[n]{A}的值:

  1. 猜一個\sqrt[n]{A}的近似值,將其作為初始值x_0
  2. x_{k+1} = \frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right]。記誤差為\Delta x_k = \frac{1}{n} \left[{\frac{A}{x_k^{n-1}}} - x_k\right],即x_{k+1} = x_{k} + \Delta x_k
  3. 重複步驟2,直至絕對誤差足夠小,即: | \Delta x_k | < \epsilon

從牛頓法導出[编辑]

\sqrt[n]{A}之值,亦即求方程x^n-A=0的根。

f(x)=x^n-A,其導函數f'(x)=nx^{n-1}

牛頓法作迭代,便得

x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}
 = x_k - \frac{x_k^n - A}{n x_k^{n-1}}
 = x_k - \frac{x_k}{n}+\frac{A}{n x_k^{n-1}}
 = \frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right]

從牛頓二項式定理導出[编辑]

x_k為迭代值,y為誤差值。

A=(x_k-y)^n(*),作牛頓二項式展開,取首兩項:A\approx x_k^n-n x^{n-1}_k y

調項得y\approx \frac{x_k^n-A}{n x_k^{n-1}}=\frac1n \left(x_k - \frac{A}{x_k^{n-1}}\right)

將以上結果代回(*),得遞歸公式x_{k+1}=x_k-y=\frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right]

参见[编辑]

外部链接[编辑]