方根

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数学中,若一個數ban次方根,則bn=a。当提及实数an次方根的时候,假定想要的是这个数的n次方根,那么它就可以用根号(\sqrt{\,\,})表示成\sqrt[n]{a}。例如:1024的主10次方根为2,就可以记作\sqrt[10]{1024}=2。定义实数a的主n次方根为an次方根,且具有与a相同的正负号的唯一实数b。如果n偶数,那么负数将没有主n次方根。习惯上,将2次方根叫做平方根,将3次方根叫做立方根

符号史[编辑]

最早的根号“√”源于字母“L"的变形(出自拉丁语latus的首字母,表示“边长”),没有线括号(即被开方数上的横线),后来数学家笛卡尔给其加上线括号,但与前面的方根符号是分开的,因此在复杂的式子中它显得很乱。直至18世纪中叶,数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成,并将根指数写在根号的左上角,以表示高次方根(当根指数为2时,省略不写。)。从而,形成了我们现在所熟悉的开方运算符号\sqrt{\,\,}

由于在计算机中的输入问题,我们有时还可以使用sqrt(a,b)来表示a的b次方根。

基本运算[编辑]

带有根号的运算由如下公式给出:


\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \qquad a \ge 0, b \ge 0
\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \qquad a \ge 0, b > 0

\sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m = a^{\frac{m}{n}},

这裡的ab正数

对于所有的非零复数a,有n个不同的复数b使得bn = a,所以符号\sqrt[n]{a}不能无歧义的使用。n单位根是特别重要的。

当一个数从根号形式被变换到形式,幂的规则仍适用(即使对分数幂),也就是

a^m a^n = a^{m+n} \,
({\frac{a}{b}})^m = \frac{a^m}{b^m}
(a^m)^n = a^{mn} \,

例如:

\sqrt[3]{a^5}\sqrt[5]{a^4} = a^{5/3} a^{4/5} = a^{5/3 + 4/5} = a^{37/15}

如果你要做加法减法,则你应当注意下列概念是重要的。

\sqrt[3]{a^5} = \sqrt[3]{aaaaa} = \sqrt[3]{a^3a^2} = a\sqrt[3]{a^2}

如果你理解了如何去简化一个根式表达式,则加法和减法简单的是的“同类项”问题。

例如

\sqrt[3]{a^5}+\sqrt[3]{a^8}
=\sqrt[3]{a^3a^2}+\sqrt[3]{a^6 a^2}
=a\sqrt[3]{a^2}+a^2\sqrt[3]{a^2}
=({a+a^2})\sqrt[3]{a^2}

不尽根数[编辑]

经常简单的留着数的n次方根不解(就是留着根号)。这些未解的表达式叫做“不尽根数”(surd),它们可以接着被处理为更简单的形式或被安排相互

如下恒等式是操纵不尽根数的基本技术:

  • \sqrt{a^2 b} = a \sqrt{b}
  • \sqrt[n]{a^m b} = a^{\frac{m}{n}}\sqrt[n]{b}
  • \sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}
  • (\sqrt{a}+\sqrt{b})^{-1} = \frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}- \sqrt{b}} {a - b}

无穷级数[编辑]

方根可以表示为无穷级数:

\begin{align}
&(1+x)^\frac{s}{t} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\displaystyle\prod_{k=0}^n (s+t-kt)}{(s+t)n!t^n}x^n\\
&(|x|<1)
\end{align}

找到所有的方根[编辑]

任何数的所有的根,实数或复数的,可以通过简单的算法找到。这个数应当首先被写为如下形式ae (参见欧拉公式)。接着所有的n次方根给出为:

 e^{(\frac{\varphi+2k\pi}{n})i} \times \sqrt[n]{a}

对于k=0,1,2,\ldots,n-1,这裡的\sqrt[n]{a}表示a的主n次方根。

正实数[编辑]

所有xn = aan次方根,这裡的a是正实数,的复数解由如下简单等式给出:

 e^{2\pi i \frac{k}{n}} \times \sqrt[n]{a}

对于k=0,1,2,\ldots,n-1,这裡的\sqrt[n]{a}表示a的主n次方根。

解多项式[编辑]

曾经猜想多项式的所有根可以用根号和基本运算来表达;但是阿贝尔-鲁菲尼定理断言了这不是普遍为真的。例如,方程

\ x^5=x+1

的解不能用根号表达。

要解任何n次方程,参见根发现算法

求方根公式[编辑]

牛顿二项式定理在开方过程中可以与牛顿切线法等价,参见

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}=X_{n}+(A/X^{k}_{n}-X_{n})1/k

例如开立方: X_{n+1}=X_{n}+(A/X^{2}_{n}-X_{n})1/3

例如,A=5,k=3,即求:\sqrt[3]{5}=x

 5介于1^{3}2^{3}之间(1的3次方=1,2的3次方=8)

初始值X_{0}可以取1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1.8,1.9,2.0都可以。例如我们取X_{0}=2.按照公式:

第一步:X_{1}=2+(5/2^{2}-2)1/3=1.75。输入值大于输出值,负反馈;

即5/2×2=1.25,1.25-2=-0.75,-0.75×1/3=-0.25,2+(-0.25)=1.75,比前面多取一位數。即取2位数值,即1.7。

第二步:X_{2}=1.7+(5/1.7^{2}-1.7)1/3=1.71.输入值小于输出值,正反馈。

即5/1.7×1.7=1.73010,1.7301-1.7=0.03,0.03×1/3=0.01,1.7+0.01=1.71。取3位数,比前面多取一位数。

第三步:X_{3}=1.71+(5/1.71^{2}-1.71)1/3=1.709.

第四步:X_{4}=1.709+(5/1.709^{2}-1.709)1/3=1.7099

这种方法可以自动调节,第一步与第三步取值偏大,但是计算出来以后输出值会自动转小;第二步,第四步输入值

偏小,输出值自动转大。即5=1.7099^{3}

当然初始值X_{0}也可以取1.1,1.2,1.3,。。。1.8,1.9中的任何一个,都是X_{1}=1.7>。當然,我們在實際中初始值最好採用中間值,即1.5。

1.5+(5/1.5^{2}-1.5)1/3=1.7。

如果用這個公式開平方,只需將X^{2}改成X^{1},1/3改成1/2。即

X_{n+1}=X_{n}+(A/X_{n}-X_{n})1/2.

例如,A=5:\sqrt[]{5}=x

5介於2²至3²之間。我們取初始值2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,2.6,2.7,2.8,2.9都可以,我們最好取

中間值2.5。

第一步:2.5+(5/2.5-2.5)1/2=2.2;

即5/2.5=2,2-2.5=-0.5,-0.5×1/2=-0.25,2.5+(-0.25)=2.25,取2位數2.2。

第二步:2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23;

即5/2.2=2.272727,2.272727-2.2=-0.072727,-0.072727×1/2=-0.036363,2.2+0.036363=2.23。取3位數。

第三步:2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。

即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.012×1/2=0.006,2.23+0.006=2.236.

每一步多取一位數。計算次數與計算精確度成為正比。這個方法又叫反饋開方,即使你輸入一個錯誤的數值,也沒有關係,輸出值會自動調節,接近準確值。 这个方法的依据是根据牛顿切线法得来。也可以通过牛顿二项式定理推出。

A=(X+ -Y)^{K} ,展开,把A展开后代入公式就得到推导过程。X是假想值,Y是误差值Y=(A/X^{k}_{n}-X_{n})1/k

X_{n+1}=X_{n}-(X^{K}-A)/(KX^{K-1})=X_{n}-f(X)/f'(x)=X_{n}+(A/X^{K-1}-X_{n})1/K

f(X)=X^{K}-A ; f'(X)=X^{K-1}K .

参见[编辑]

外部链接[编辑]

引用[编辑]