欧拉公式

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欧拉公式是根据其提出者莱昂哈德·欧拉命名的公式。

形式

• 在複分析领域的欧拉公式为

对于任意实数$x\,$，存在:

$e^{ix} = \cos x + i\;\sin x$

当$x=\pi\,$时，欧拉公式的特殊形式为$e^{i \pi} + 1 = 0\,$。（参见欧拉恒等式）

• 在几何学和代数拓扑学方面，欧拉公式的形式为

对于一个拥有$F\,$个面、$V \,$个顶角和$E\,$条棱（边）的单联通多面体，必存在

$F+V-E=2 \,$（参见欧拉示性数）

证明

複分析领域：

$e^{ix} = \cos x + i\;\sin x$, $x \in \mathbb{R}\,$

• 方法一：泰勒级数法

将函数 $e^x \,$，$\cos(x)\,$ 和 $\sin(x)\,$ 写成泰勒级数形式：

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$

将$x=iz\,$代入可得：

$e^{iz} = 1 + iz + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots$

$= 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - \frac{iz^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{iz^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - \frac{iz^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots$

$= \left( 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \right) + i\left( z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right)$

$= \cos (z) + i\sin (z) \,$

• 方法二：微積分法

定義函數

$f(x)=\frac{\cos x+i\sin x}{e^{ix}}$

由於

$e^{ix}\cdot e^{-ix}=e^0=1$

可知$e^{ix}\,$不可能為0，因此以上定義成立。

則$f(x)\,$之导数為：

$\begin{align} f'(x)&{}= \frac{(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{ix} - (\cos x+i\sin x)\cdot i\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\ &{}= \frac{-\sin x\cdot e^{ix}-i^2\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\ &{}= \frac{-\sin x\cdot e^{ix}+\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\ &{}= 0 \end{align}$

因此$f(x)\,$必須為一常數函數。

所以：

$\frac{\cos x + i \sin x}{e^{ix}}=f(x)=f(0)=\frac{\cos 0 + i \sin 0}{e^0}=1$

重新整理，即可得到：

$\displaystyle\cos x + i \sin x=e^{ix}$

在複分析的應用

這公式可以說明當x為實數時，函數e^ix可在複數平面描述一單位圓。且x為此平面上一條連至原點的線與正實數軸的交角（順時鐘的）。 先前一個在複數平面的複點只能用卡式坐標系描述，歐拉公式在此提供複點至極坐標的變換

任何複數z = x + yi皆可記為

$z = x + iy = |z| (\cos \phi + i\sin \phi ) = |z| e^{i \phi} \,$

$\bar{z} = x - iy = |z| (\cos \phi - i\sin \phi ) = |z| e^{-i \phi} \,$

在此

$x = \mathrm{Re}\{z\} \,$為實部

$y = \mathrm{Im}\{z\} \,$為虛部

$|z| = \sqrt{x^2+y^2}$為z 的模

ϕ = atan2(y,x),其中$\mathrm{atan2}{(y,x)}= \begin{cases} \arctan\left(\frac y x\right) & \qquad x > 0 \\ \pi + \arctan\left(\frac y x\right) & \qquad y \ge 0 , x 0 , x = 0 \\ -\frac{\pi}{2} & \qquad y < 0 , x = 0 \\ \text{undefined} & \qquad y = 0, x = 0 \end{cases}$