欧拉公式

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欧拉公式是根据其提出者莱昂哈德·欧拉命名的公式。

[编辑] 形式

(1) 在複分析领域的欧拉公式为:

对于任意实数x\,,存在:
e^{ix} = \cos x + i\;\sin x
x=\pi\,时,欧拉公式的特殊形式为  e^{i \pi} + 1 = 0 \, 。 (参见欧拉恒等式

(2) 在几何学代数拓扑学方面,欧拉公式的形式为:

对于一个拥有 F\, 个面、 V \, 个顶角和 E\, 条棱(边)的单联通多面体,必存在
 F+V-E=2 \, (参见欧拉示性数

[编辑] 证明

複分析领域:

e^{ix} = \cos x + i\;\sin x, x \in \mathbb{R}\,
将函数  e^x \, cos(x)\,  sin(x)\, 写成泰勒级数形式:
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots
x=iz\,代入可得:
e^{iz} = 1 + iz + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots
  = 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - \frac{iz^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{iz^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - \frac{iz^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots
= \left( 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \right) + i\left( z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right)
= \cos (z) + i\sin (z) \,

定義函數

f(x)=\frac{\cos x+i\sin x}{e^{ix}}

由於

e^{ix}\cdot e^{-ix}=e^0=1

可知e^{ix}\,不可能為0,因此以上定義成立。

f(x)\,之微分為:

\begin{align}
 f'(x) &{}= \frac{(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{ix} - (\cos x+i\sin x)\cdot i\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\
       &{}= \frac{-\sin x\cdot e^{ix}-i^2\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\
       &{}= \frac{-\sin x\cdot e^{ix}+\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\
       &{}= 0
\end{align}

因此f(x)\,必須為一常數函數

所以:

\frac{\cos x + i \sin x}{e^{ix}}=f(x)=f(0)=\frac{\cos 0 + i \sin 0}{e^0}=1

重新整理,即可得到:

\displaystyle\cos x + i \sin x=e^{ix}

[编辑] 在複分析的應用

這公式可以說明當x為實數時,函數 eix 可在 複數平面描述一單位圓 。且x為此平面上一條連至原點的線與正實數軸的交角(順時鍾的)。 先前一個在複數平面的複點只能用卡式坐標系描述,尤拉公式在此提供複點至極坐標的變換

任何複數 z = x + yi 皆可記為

 z = x + iy = |z| (\cos \phi + i\sin \phi ) = |z| e^{i \phi} \,
 \bar{z} = x - iy = |z| (\cos \phi - i\sin \phi ) = |z| e^{-i \phi} \,

在此

 x = \mathrm{Re}\{z\} \, 為實部
 y = \mathrm{Im}\{z\} \, 為虛部
|z| = \sqrt{x^2+y^2}z
φ = atan2(y,x),
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