欧拉公式

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欧拉公式是根据其提出者莱昂哈德·欧拉命名的公式。

[编辑] 形式

(1) 在複分析领域的欧拉公式为:

对于任意实数 $x\,$ ，存在:

$e^{ix} = \cos x + i\;\sin x$

当 $x=\pi\,$ 时，欧拉公式的特殊形式为 $e^{i \pi} + 1 = 0 \,$ 。（参见欧拉恒等式）

(2) 在几何学和代数拓扑学方面，欧拉公式的形式为：

对于一个拥有 $F\,$ 个面、 $V \,$ 个顶角和 $E\,$ 条棱（边）的单联通多面体，必存在

$F+V-E=2 \,$ （参见欧拉示性数）

[编辑] 证明

複分析领域：

$e^{ix} = \cos x + i\;\sin x$ , $x \in \mathbb{R}\,$

方法一：泰勒级数法

将函数 $e^x \,$ ， $cos(x)\,$ 和 $sin(x)\,$ 写成泰勒级数形式：

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$

将 $x=iz\,$ 代入可得：

$e^{iz} = 1 + iz + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots$

$= 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - \frac{iz^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{iz^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - \frac{iz^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots$

$= \left( 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \right) + i\left( z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right)$

$= \cos (z) + i\sin (z) \,$

方法二：微積分法

定義函數

$f(x)=\frac{\cos x+i\sin x}{e^{ix}}$

由於

$e^{ix}\cdot e^{-ix}=e^0=1$

可知 $e^{ix}\,$ 不可能為0，因此以上定義成立。

則 $f(x)\,$ 之微分為：

$\begin{align} f'(x) &{}= \frac{(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{ix} - (\cos x+i\sin x)\cdot i\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\ &{}= \frac{-\sin x\cdot e^{ix}-i^2\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\ &{}= \frac{-\sin x\cdot e^{ix}+\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\ &{}= 0 \end{align}$