泰勒级数

在数学中，泰勒级数（Taylor series）用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英國数学家布魯克·泰勒（Sir Brook Taylor）来命名的。通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做迈克劳林级数，以苏格兰数学家科林·麦克劳林的名字命名。

实际应用中，泰勒级数需要截断，只取有限项，泰勒定理可以用于估算这种近似的误差。一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒多项式。一个函数的泰勒级数是其泰勒多项式的极限（如果存在极限）。即使泰勒级数在每点都收敛，函数与其泰勒级数也可能不相等。开区间（或复平面开片）上，与自身泰勒级数相等的函数称为解析函数。

定义

在数学上，一个在实数或复数a邻域上的无穷可微实变函数或複變函数ƒ(x) 的泰勒级数是如下的幂级数：

$\sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}$

这裡，n! 表示n 的阶乘而$f^{(n)}(a)\,\!$表示函数f 在点a 处的n 阶导数。如果泰勒级数对于区间 (a-r, a+r)中的所有x都收敛并且级数的和等于f (x)，那么我们就称函数f (x)为解析的（analytic）。当且仅当一个函数可以表示成为幂级数的形式时，它才是解析的。为了检查级数是否收敛于f (x)，我们通常采用泰勒定理估计级数的餘项。上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。

如果a = 0，那么这个级数也可以被称为麦克劳伦级数。

泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：

1. 幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。
2. 一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。
3. 泰勒级数可以用来近似计算函数的值。

对于一些无穷可微函数f (x)虽然它们的展开式收敛，但是并不等于f (x)。例如，分段函数$f(x) = \exp \left(- \frac{1}{x^2} \right)$，当x ≠ 0且f (0) = 0，则当x = 0所有的导数都为零，所以这个f (x)的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，虽然这个函数f 仅在x = 0处为零。而这个问题在复变函数内并不成立，因为当z 沿虚轴趋于零时$\exp \left(- \frac{1}{z^2} \right)$并不趋于零。

一些函数无法被展开为泰勒级数因为那里存在一些奇点。但是如果变量x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。例如，$f(x) = \exp \left(- \frac{1}{x^2} \right)$就可以被展开为一个洛朗级数。

Parker-Sockacki method（英语）是最近发现的一种用泰勒级数来求解微分方程的定理。这个定理是对皮卡反覆運算的一个推广。

历史

希腊哲学家芝诺 （Zeno of Elea）在考虑了利用无穷级数求和来得到有限结果的问题，得出不可能的结论 - 芝诺悖论。后来，亚里士多德对芝诺悖论在哲学上进行了反驳，但德谟克利特以及后来的阿基米德进行研究，此部分数学内容才得到解决。 正是用了阿基米德的穷举法才使得一个无穷级数被逐步的细分，得到了有限的结果。.几个世纪之后，中国数学家刘徽也独立提出了类似的方法。

进入14世纪，Mādhava of Sañgamāgrama 最早使用了泰勒级数以及相关的方法.尽管他的数学著作没有流传下来，但后来印度数学家的著作表明他发现了一些特殊的泰勒级数，这些级数包括正弦、余弦、正切、和反正切三角函数等等。之后，喀拉拉学派在他的基础上进行了一系列的延伸与合理逼近，这些工作一直持续到16世纪。

到了17世纪，詹姆斯·格雷果里同样继续着这方面的研究并且发表了若干麦克劳林级数。但是直到1715年，布鲁克·泰勒 提出了一个通用的方法来构建适用于所有函数的此类列级数。这就是后来被人们所熟知的泰勒级数。 麦克劳林级数是泰勒级数的特例，是爱丁堡大学科林·麦克劳林教授在18世纪发表的，并以其名字命名。

簡易多項式泰勒展開式

定義

$\ f(x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + ... + a_{1} x + a_{0}$
$\ = \alpha _{n}(x- \beta)^{n} + \alpha _{n-1}(x- \beta)^{n-1} + \alpha _{n-2}(x- \beta)^{n-2} + ... +\alpha _{1}(x- \beta) + \alpha _{0}$

求法

• 使用綜合除法

$\ f(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 5$
$\ = a(x-1)^3 + b(x-1)^2 + c(x-1) + d$

求得$\ a = 1\ b = 5\ c = 10\ d = 11$

用法

$\ f(x) = x^5 +2x^2 - 3x -1$

• 求$\ f(1.999)$近似值

使用簡易多項式泰勒展開式
展開成
$\ (x-2)^5 + 10(x-2)^4 + 40(x-2)^3 + 82(x-2)^2 +85(x-2) + 33$
將$\ f(1.999)$代入即可方便求近似值

泰勒级数列表

下面我们给出了几个重要的泰勒级数。参数x 为复数时它们依然成立。

• 指数函数和自然对数:

$e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad \forall x$

$\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}n x^n\quad \forall x\in (-1,1]$

• 几何级数:

$\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n\quad \forall x: \left| x \right| < 1$

• 二项式定理:

$(1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} C(\alpha,n) x^n\quad \forall x: \left| x \right| < 1, \forall \alpha \in \mathbb{C}$

• 三角函数:

$\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad \forall x$

$\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad \forall x$

$\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad \forall x: \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

$\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad \forall x: \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

$\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad \forall x: \left| x \right| < 1$

$\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad \forall x: \left| x \right| < 1$

$\arctan x = {{\pi {\mathop{\rm sgn}} x} \over 2} - {1 \over x} + \sum_{k = 1}^\infty {{{\left( { - 1} \right)^k } \over {\left( {2k + 1} \right)x^{2k + 1} }}} \quad \forall x: \left| x \right| > 1$

• 双曲函数:

$\sinh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad \forall x$

$\cosh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad \forall x$

$\tanh x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad \forall x: \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

$\sinh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad \forall x: \left| x \right| < 1$

$\tanh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad \forall x: \left| x \right| < 1$

• 朗伯W函数:

$W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\quad \forall x: \left| x \right| < \frac{1}{e}$

二项式展开中的C(α,n)是二项式系数。

tan(x)和tanh(x)展开式中的B_k是伯努利数。

sec(x)展开式中的E_k是欧拉数。

多元函数的展开

泰勒级数可以推广到有多个变量的函数： $\sum_{n_1=0}^{\infin} \cdots \sum_{n_d=0}^{\infin} \frac{\partial^{n_1}}{\partial x^{n_1}} \cdots \frac{\partial^{n_d}}{\partial x^{n_d}} \frac{f(a_1,\cdots,a_d)}{n_1!\cdots n_d!} (x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}$

參見

• 光滑函數