泰勒级数

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微积分学
\text{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
函数 · 导数 · 微分 · 积分
无穷级数
\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{k^s}
无穷级数

在数学中,泰勒级数Taylor series)用无限项连加式——级数来表示一个函数,这些相加的项由函数在某一点的导数求得。泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式英國数学家布魯克·泰勒(Sir Brook Taylor)来命名的。通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做迈克劳林级数,以苏格兰数学家科林·麦克劳林的名字命名。

拉格朗日在1797年之前,最先提出了帶有餘項的現在形式的泰勒定理。实际应用中,泰勒级数需要截断,只取有限项,可以用泰勒定理估算这种近似的误差。一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒多项式。一个函数的泰勒级数是其泰勒多项式的极限(如果存在极限)。即使泰勒级数在每点都收敛,函数与其泰勒级数也可能不相等。开区间(或复平面开片)上,与自身泰勒级数相等的函数称为解析函数

定义[编辑]

在数学上,一个在实数复数a邻域上的无穷可微实变函数複變函数ƒ(x)的泰勒级数是如下的幂级数


\sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}

这裡,n! 表示n阶乘f^{(n)}(a)\,\!表示函数f在点a处的n导数。如果a = 0,那么这个级数也可以被称为麦克劳伦级数

解析函數[编辑]

柯西在1823年指出函數e−1/x²x = 0處不解析。

如果泰勒级数对于区间(a-r, a+r)中的所有x都收敛并且级数的和等于f(x),那么我们就称函数f(x)为解析的(analytic)。当且仅当一个函数可以表示成为幂级数的形式时,它才是解析的。为了检查级数是否收敛于f(x),通常采用泰勒定理估计级数的餘项。上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。 泰勒级数的重要性体现在以下三个方面:

  1. 幂级数的求导和积分可以逐项进行,因此求和函数相对比较容易。
  2. 一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数,并使得复分析这种手法可行。
  3. 泰勒级数可以用来近似计算函数的值。

对于一些无穷可微函数f(x)虽然它们的展开式收敛,但是并不等于f(x)。例如,分段函数 f(x) = \exp \left(- \frac{1}{x^2} \right) ,当x ≠ 0且f (0) = 0,则当x = 0所有的导数都为零,所以这个f(x)的泰勒级数为零,且其收敛半径为无穷大,虽然这个函数f仅在x = 0处为零。而这个问题在复变函数内并不成立,因为当z沿虚轴趋于零时 \exp \left(- \frac{1}{z^2} \right) 并不趋于零。

一些函数无法被展开为泰勒级数因为那里存在一些奇点。但是如果变量x是负指数幂的话,我们仍然可以将其展开为一个级数。例如, f(x) = \exp \left(- \frac{1}{x^2} \right) 就可以被展开为一个洛朗级数

Parker-Sochacki method英语Parker-Sochacki method[1]是最近发现的一种用泰勒级数来求解微分方程的定理。这个定理是对皮卡反覆運算的一个推广。

泰勒级数列表[编辑]

复平面上餘弦函數的實數部分。
复平面上餘弦函數的第八度逼近
兩個以上的曲線放在一起

下面我们给出了几个重要的泰勒级数。参数x复数时它们依然成立。

\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n\quad \forall x: \left| x \right| < 1
(1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} C(\alpha,n) x^n\quad \forall x: \left| x \right| < 1, \forall \alpha \in \mathbb{C}
二项式展开中的C(α,n)是二项式系数
e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad \forall x
\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}n x^n\quad \forall x\in (-1,1]
\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad \forall x
\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad \forall x
\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad \forall x: \left| x \right| < \frac{\pi}{2}
\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad \forall x: \left| x \right| < \frac{\pi}{2}
\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad \forall x: \left| x \right| < 1
\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad \forall x: \left| x \right| < 1
\arctan x = {{\pi {\mathop{\rm sgn}} x} \over 2} - {1 \over x} + \sum_{k = 1}^\infty {{{\left( { - 1} \right)^k } \over {\left( {2k + 1} \right)x^{2k + 1} }}} \quad \forall x: \left| x \right| > 1
tan(x)展开式中的Bk伯努利数。sec(x)展开式中的Ek欧拉数
\sinh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad \forall x
\cosh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad \forall x
\tanh x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad \forall x: \left| x \right| < \frac{\pi}{2}
\sinh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad \forall x: \left| x \right| < 1
\tanh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad \forall x: \left| x \right| < 1
tanh(x)展开式中的Bk伯努利数
W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\quad \forall x: \left| x \right| < \frac{1}{e}

多元函数的展开[编辑]

泰勒级数可以推广到有多个变量函数
\sum_{n_1=0}^{\infin} \cdots \sum_{n_d=0}^{\infin}
\frac{\partial^{n_1+\cdots+n_d}}{\partial x^{n_1}\cdots\partial x^{n_d}}
\frac{f(a_1,\cdots,a_d)}{n_1!\cdots n_d!}
(x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}

历史[编辑]

希腊哲学家芝诺在考虑了利用无穷级数求和来得到有限结果的问题,得出不可能的结论 - 芝诺悖论。后来,亚里士多德对芝诺悖论在哲学上进行了反驳,但德谟克利特以及后来的阿基米德进行研究,此部分数学内容才得到解决。 正是用了阿基米德的穷举法才使得一个无穷级数被逐步的细分,得到了有限的结果。[2].几个世纪之后,中国数学家刘徽也独立提出了类似的方法。[3]

进入14世纪,马德哈瓦英语Madhava of Sangamagrama最早使用了泰勒级数以及相关的方法[4]。尽管他的数学著作没有流传下来,但后来印度数学家的著作表明他发现了一些特殊的泰勒级数,这些级数包括正弦余弦正切、和反正切三角函数等等。之后,喀拉拉学派英语Kerala school of astronomy and mathematics在他的基础上进行了一系列的延伸与合理逼近,这些工作一直持续到16世纪。

到了17世纪,詹姆斯·格雷果里同样继续着这方面的研究并且发表了若干麦克劳林级数。但是直到1715年,布鲁克·泰勒 [5] 提出了一个通用的方法来构建适用于所有函数的此类列级数。这就是后来被人们所熟知的泰勒级数。 麦克劳林级数是泰勒级数的特例,是爱丁堡大学科林·麦克劳林教授在18世纪发表的,并以其名字命名。

與牛頓插值公式的淵源[编辑]

自然哲學的數學原理》的第三編“宇宙體系”的引理五的图例。這裡在橫坐標上有6個點H,I,K,L,M,N,對應著6個值A,B,C,D,E,F,生成一個多項式函數對這6個點上有對應的6個值,計算任意點S對應的值R。牛頓給出了間距為單位值和任意值的兩種情況。

牛頓插值公式也叫做牛頓級數,由“牛頓前向差分方程”的項組成,得名於伊薩克·牛頓爵士,最早发表为他在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中第三編“宇宙體系”的引理五[6],此前詹姆斯·格雷果里於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續“泰勒展開”的離散對應。

單位步長情況[编辑]

x值間隔為單位步長1時,有:

\begin{align}
f(x) &= f(a) + \sum_{k=1}^n \Delta^k [f](a)  \prod_{i=1}^{k} \frac{((x-a)-i+1)}{i} \\
 &= \sum_{k=0}^n {x-a \choose k}~ \Delta^k [f](a) \\
\end{align}

這成立於任何多項式函數和大多數但非全部解析函數。這裡的表達式

{x \choose k} = \frac{(x)_k}{k!} \quad\quad (x)_k=x(x-1)(x-2)\cdots(x-k+1)

二項式係數,其中的(x)k是“下降階乘冪”,空乘積(x)0被定義為1。

這裡的Δk[f](x)是“前向差分”的特定情況,即間距h=1。一階前向差分和二階前向差分是:

 \Delta_h^1[f](x) =  f(x + h) - f(x). \
 \Delta_h^2[f](x) = \Delta_h^1[f](x+h) -\Delta_h^1[f](x) = f(x+2h) - 2 f(x+h) + f(x)

還可定義Δ0[f](x)=f(x),前向差分的一般形式為:

\Delta^n_h[f](x) = \Delta_h^{n-1}[f](x+h) -\Delta_h^{n-1}[f](x) = \sum_{i = 0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} f(x + (n - i) h),

一般情況[编辑]

對於x值間隔為非一致步長或一致但非單位量的情況,牛頓計算均差分英语divided differences,對於上述前向差分一般情況,插值公式為:


\begin{align}
f(x) &= f(a) + \sum_{k=1}^n \frac{\Delta_h^k[f](a)}{k!h^k} \prod_{i=0}^{k-1} ((x-a)-ih) \\
 &=f(a) + \sum_{k=1}^n \frac{\Delta_h^k[f](a)}{k!} \prod_{i=0}^{k-1} (\frac{x-a}{h}-i).
\end{align}

在最終公式中hk被消去掉了,不介入新的符號或記法,這裡的均差分為:

\begin{align}
\Delta_h^0[f](a)&=f(a) \\
\frac{\Delta_h^1[f](a)}{h} &=\frac {\Delta_h^0[f](a+h)-\Delta_h^0[f](a)}{x_1-x_0} \quad x_1-x_0=h \\
\vdots & \\
\frac{\Delta_h^n[f](a)}{n!h^n}&=\frac {\frac {\Delta_h^{n-1}[f](a+h)}{(n-1)!h^{n-1}}-\frac{\Delta_h^{n-1}[f](a)}{(n-1)!h^{n-1}}}{x_n-x_0}  \quad x_n-x_0=nh \\
\end{align}

這展示了公式中的階乘是如何出現的,對於非一致步長的情況則不會出現階乘。

無窮級數[编辑]

牛頓在1665年得出並在1671年寫的《流數法》中發表了ln(1+x)的無窮級數,在1666年得出了arcsin(x)和arctan(x)的無窮級數,在1669年的《分析學》中發表了sin(x)、cos(x)、arcsin(x)和ex的無窮級數;萊布尼茨在1673年大概也得出了sin(x)、cos(x)和arctan(x)的無窮級數。布魯克·泰勒在1715年著作《Methodus Incrementorum Directa et Inversa》中研討了有限差分方法,其中論述了他在1712年得出的泰勒定理,這個成果此前詹姆斯·格雷果里在1670年和萊布尼茨在1673年已經得出,而約翰·伯努利在1694年已經在《教師學報》發表。

他對牛頓的均差分的步長取趨於0的極限,得出:


\begin{align}
f(x) &= f(a) + \lim_{h \to 0}\sum_{k=1}^\infty \frac{\Delta_h^k[f](a)}{k!h^k} \prod_{i=0}^{k-1} ((x-a)-ih) \\
 &= f(a) + \sum_{k=1}^\infty \frac{d^k}{dx^k}f(x) \frac{(x-a)^k}{k!}. \\
\end{align}

參見[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ James S. Sochacki. The Modified Picard Method for Solving Arbitrary Ordinary and Initial Value Partial Differential Equations. James Madison University. [2008-05-02] (英文). 
  2. ^ Kline, M. (1990) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press. pp. 35-37
  3. ^ 吴文俊 《中国数学史大系》第三卷 367页
  4. ^ Neither Newton nor Leibniz - The Pre-History of Calculus and Celestial Mechanics in Medieval Kerala. MAT 314. Canisius College. [2006-07-09]. 
  5. ^ Taylor, Brook, Methodus Incrementorum Directa et Inversa [Direct and Reverse Methods of Incrementation] (London, 1715), pages 21-23 (Proposition VII, Theorem 3, Corollary 2). Translated into English in D. J. Struik, A Source Book in Mathematics 1200-1800 (Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1969), pages 329-332.
  6. ^ Newton, Isaac, (1687). Principia, Book III, Lemma V, Case 1