三角函数

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角 θ的所有三角函数在几何上可以依据以O點為圓心的单位圓来构造。

三角函数：正弦, 餘弦, 正切, 正割, 餘割, 餘切

在数学中，三角函数（也叫做圆函数）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。

三角函数在数学中属于初等函数裡的超越函数的一类函数。它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。由于三角函数具有周期性，所以并不具有单射函数意义上的反函数。三角函数在复数中有重要的应用，在物理学中也是常用的工具。

[编辑] 基本函數

函数	简写	关系
正弦	sin	$\sin \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\csc \theta}\,$
餘弦	cos	$\cos \theta = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\sec \theta}\,$
正切	tan (或 tg)	$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \cot \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\cot \theta} \,$
餘割	csc (或 cosec)	$\csc \theta = \sec \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) =\frac{1}{\sin \theta} \,$
正割	sec	$\sec \theta = \csc \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) =\frac{1}{\cos \theta} \,$
餘切	cot (或 ctg、ctn)	$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\tan \theta} \,$

[编辑] 少用函數

除六個基本函數，历史上還有下面六个函数:

正矢 $\textrm{versin}(\theta) = 1 - \cos (\theta) = 2 \sin^2\left(\frac{\theta} {2}\right) \,$
餘矢 $\textrm{coversin}(\theta) = \textrm{versin}(\pi/2 - \theta) = 1 - \sin(\theta) \,$
半正矢 $\textrm{haversin}(\theta) = \frac {\textrm{versin}(\theta)} {2} = \sin^2\left(\frac {\theta} {2} \right)$
半餘矢 $\textrm{hacoversin}(\theta) = \textrm{haversin}\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \frac {\textrm{coversin}(\theta)} {2}$
外正割 $\textrm{exsec}(\theta) = \sec(\theta) - 1 \,$
外餘割 $\textrm{excsc}(\theta) = \textrm{exsec}(\pi/2 - \theta) = \csc(\theta) - 1 \!$

[编辑] 历史

随着认识到相似三角形在它们的边之间保持相同的比率，就有了在三角形的边的长度和三角形的角之间应当有某种标准的对应的想法。就是说对于任何相似三角形，（比如）斜边和剩下的两个边的比率都是相同的。如果斜边变为两倍长，其他边也要变为两倍长。三角函数表达的就是这些比率。

研究三角函数的有尼西亚的喜帕恰斯（公元前180-125年）、埃及的托勒密（公元90-180年）、Aryabhata（公元476-550年），Varahamihira、婆罗摩笈多、花拉子密、Abū al-Wafā' al-Būzjānī、欧玛尔·海亚姆、婆什迦罗第二、Nasir al-Din al-Tusi、Ghiyath al-Kashi（14世纪）、Ulugh Beg（14世纪）、约翰·缪勒（1464）、Rheticus和 Rheticus 的学生 Valentin Otho。

Madhava of Sangamagramma（約1400）以无穷级数的方式做了三角函数的分析的早期研究。欧拉的《無窮微量解析入門》(Introductio in Analysin Infinitorum)（1748）对建立三角函数在欧洲的分析处理做了最主要的贡献，他定义三角函数为无穷级数，并表述了欧拉公式，还有使用接近现代的简写 sin.、cos.、tang.、cot.、sec. 和 cosec.。

[编辑] 直角三角定义

[编辑] 直角三角形中

在直角三角形中仅有锐角三角函数的定义。

一个锐角的正弦是它的对边与斜边的比值。在图中， $sin A$ = 对边/斜边 = a/h。
一个锐角的餘弦是它的邻边与斜边的比值。在图中， $cos A$ = 邻边/斜边 = b/h。
一个锐角的正切是它的对边与邻边的比值。在图中， $tan A$ = 对边/邻边 = a/b。

[编辑] 直角坐标系中

设α是平面直角坐标系xOy中的一个象限角， $P\left( {x,y} \right)$ 是角的终边上一点， $r = \sqrt {x^2 + y^2 }>0$ 是P到原点O的距离，则α的六个三角函数定义为：

函数名	定义	函数名	定义
正弦	$\sin \alpha = \frac{y}{r}$	餘弦	$\cos \alpha = \frac{x}{r}$
正切	$\tan \alpha = \frac{y}{x}$	餘切	$\cot \alpha = \frac{x}{y}$
正割	$\sec \alpha = \frac{r}{x}$	餘割	$\csc \alpha = \frac{r}{y}$

[编辑] 单位圆定义

单位圆

六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和 π/2 弧度之间的角。它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，单位圆的等式是:

$x^2 + y^2 = 1 \,$

图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同 x 轴正半部分得到一个角 θ，并与单位圆相交。这个交点的 x 和 y 坐标分别等于 cos θ 和 sin θ。图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有 sin θ = y/1 和 cos θ = x/1。单位圆可以被視为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1的一种查看无限個三角形的方式。

在笛卡尔平面上 f(x) = sin(x) 和 f(x) = cos(x) 函数的图像。

对于大于 2π 或小于 −2π 的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为 2π的周期函数:

$\sin\theta = \sin\left(\theta + 2\pi k \right)$

$\cos\theta = \cos\left(\theta + 2\pi k \right)$

对于任何角度 θ 和任何整数 k。

周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”(primitive period)。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是 2π 弧度或 360 度；正切或余切的基本周期是半圆，也就是 π 弧度或 180 度。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角函数可以定义为:

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \quad \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$

$\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} \quad \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$

在笛卡尔平面上 f(x) = tan(x) 函数的图像。

在正切函数的图像中，在角 kπ 附近变化缓慢，而在接近角 (k + 1/2)π 的时候变化迅速。正切函数的图像在 θ = (k + 1/2)π 有垂直渐进线。这是因为在 θ 从左侧接进 (k + 1/2)π 的时候函数接近正无穷，而从右侧接近 (k + 1/2)π 的时候函数接近负无穷。

另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为 O 的单位圆来定义，类似于历史上使用的几何定义。特别是，对于这个圆的弦 AB，这里的 θ 是对向角的一半，sin(θ) 是 AC (半弦)，这是印度的 Aryabhata(AD 476–550)介入的定义。cos(θ) 是水平距离 OC，versin(θ) = 1 − cos(θ) 是 CD。tan(θ) 是通过 A 的切线的线段 AE 的长度，所以这个函数才叫正切。cot(θ) 是另一个切线段 AF。 sec(θ) = OE 和 csc(θ) = OF 是割线(与圆相交于两点)的线段，所以可以看作 OA 沿着 A 的切线分别向水平和垂直轴的投影。DE 是 exsec(θ) = sec(θ) − 1 (正割在圆外的部分)。通过这些构造，容易看出正割和正切函数在 θ 接近 π/2 (90 度)的时候发散，而余割和余切在 θ 接近零的时候发散。

[编辑] 級數定義

正弦函数(蓝色)十分接近于它的 5 次泰勒级数(粉红色)。

只使用几何和极限的性质，可以证明正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦。(在微积分中，所有角度都以弧度来度量)。我们可以接着使用泰勒级数的理论来证明下列恒等式对于所有实数 x 都成立 :

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$

这些恒等式经常被用做正弦和余弦函数的定义。它们经常被用做三角函数的严格处理和应用的起点(比如，在傅立叶级数中)，因为无穷级数的理论可从实数系的基础上发展而来，不需要任何几何方面的考虑。这样，这些函数的可微性和连续性便可以单独从级数定义来确立。

其他级数可见于:^[1]

$\tan x \,$	${} = \sum_{n=0}^\infty \frac{U_{2n+1} x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
	${} = \sum_{n=1} ^ \infty \frac{ (-1) ^ {n-1} 2 ^ {2n} (2 ^ {2n} - 1) B_{2n} x ^ {2n - 1}} {(2n)!}$
	${} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots, \qquad \mbox{for } \|x\| < \frac {\pi} {2}$

这里的

$U_n \,$ 是 n 次上/下数，

$B_n \,$ 是 n 次伯努利数，

$E_n \,$ (下面的)是 n 次欧拉数。

在这种形式的表达中，分母是相应的阶乘，分子称为“正切数”，它有一个组合解释: 它们枚举了奇数势的有限集合的交错排列(alternating permutation)。

$\csc x \,$	${} = \sum_{n=0}^\infty \frac{( - 1 )^{n + 1} 2 (2^{2n - 1} - 1) B_{2n} x^{2n - 1}} {(2n)!}$
	${} = \frac {1} {x} + \frac {x} {6} + \frac {7 x^3} {360} + \frac {31 x^5} {15120} + \cdots, \qquad \mbox{for } 0 < \|x\| < \pi$

$\sec x \,$	${} = \sum_{n=0}^\infty \frac{U_{2n} x^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_n x^{2n}}{(2n)!}$
	${} = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots, \qquad \mbox{for } \|x\| < \frac {\pi} {2}$

在这种形式的表达中，分母是对应的阶乘，而分子叫做“正割数”，有组合解释: 它们枚举偶数势的有限集合的交错排列。

$\cot x \,$	${} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}$
	${} = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots, \qquad \mbox{for } 0 < \|x\| < \pi$

从复分析的一个定理得出，这个实函数到复数有一个唯一的解析扩展。它们有同样的泰勒级数，所以复数上的三角函数是使用上述泰勒级数来定义的。

[编辑] 与指数函数和复数的联系

可以从上述的级数定义证明正弦和余弦函数分别是复指数函数在它的自变量为纯虚数时候的虚数和实数部分:

$e^{i \theta} = \cos\theta + i\sin\theta \,.$

这个联系首先由欧拉注意到，叫做欧拉公式。在这种方式下，三角函数在复分析的几何解释中变成了本质性的。例如，通过上述恒等式，如果考虑在复平面中 e^ix 所定义的单位圆，同上面一样，我们可以根据余弦和正弦来把这个圆参数化，复指数和三角函数之间联系就变得更加明显了。

进一步的，这样就可以定义对复自变量 z 的三角函数:

$\sin z \, = \, \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} \, = \, {e^{i z} - e^{-i z} \over 2i} = -i \sinh \left( i z\right)$

$\cos z \, = \, \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} \, = \, {e^{i z} + e^{-i z} \over 2} = \cosh \left(i z\right)$

这里的 i² = −1。还有对于纯实数 x，

$\cos x \, = \, \mbox{Re } (e^{i x})$

$\sin x \, = \, \mbox{Im } (e^{i x})$

我们还知道，这种指数过程与周期行为有密切的联系。

**復平面中的三角函數**。

$sin(z)$	$cos(z)$	$tan(z)$	$cot(z)$	$sec(z)$	$csc(z)$

[编辑] 微分方程定义

正弦和余弦函数都满足微分方程

$y''=-y \,$

就是说，每个都是它自己的二阶导数的负数。在由所有这个方程的解的二维向量空间 V 中，正弦函数是满足初始条件 y(0) = 0 和 y′(0) = 1 的唯一解，而余弦函数是满足初始条件 y(0) = 1 和 y′(0) = 0 的唯一解。因为正弦和余弦函数是线性无关的，它们在一起形成了 V 的基。这种定义正弦和余弦函数的方法本质上等价于使用欧拉公式。（参见线性微分方程）。很明显这个微分方程不只用来定义正弦和余弦函数，还可用来证明正弦和余弦函数的三角恒等式。进一步的，观察到正弦和余弦函数满足 $y''=-y \,$ 意味着它们是二阶算子的特征函数。

正切函数是非线性微分方程

$y'=1+y^2 \,$

满足初始条件 y(0) = 0 的唯一解。有一个非常有趣的形象证明，证明了正切函数满足这个微分方程；参见 Needham 的《Visual Complex Analysis》。^[2]

[编辑] 弧度的重要性

弧度通过测量沿着单位圆的路径的长度而指定一个角，并构成正弦和余弦函数的特定辐角。特别是，只有映射弧度到比率的那些正弦和余弦函数才满足描述它们的经典微分方程。如果正弦和余弦函数的弧度辐角是正比于频率的

$f(x) = \sin(kx); k \ne 0, k \ne 1 \,$

则导数将正比于“振幅”。

$f'(x) = k\cos(kx) \,$ .

这里的 k 是表示在单位之间映射的常数。如果 x 是度，则

$k = \frac{\pi}{180^\circ}.$

这意味着使用度的正弦的二阶导数不满足微分方程

$y'' = -y \,$ ,

但满足

$y'' = -k^2y \,$ ;

对余弦也是类似的。

这意味着这些正弦和余弦是不同的函数，因此只有它的辐角是弧度的条件下，正弦的四阶导数才再次是正弦。

[编辑] 恒等式

主条目：三角恒等式

三角函数之间存在很多恒等式，其中最常用的是毕达哥拉斯恒等式，它声称对于任何角，正弦的平方加上余弦的平方总是 1。这可从斜边为 1 的直角三角形应用勾股定理得出。用符号形式表示，毕达哥拉斯恒等式为：

$\left(\sin x\right)^2 + \left(\cos x\right)^2 = 1,$

更常见的写法是在正弦和余弦符号之后加“2”次幂:

$\sin^2\left( x\right) + \cos^2\left(x\right) = 1.$

在某些情况下里面的括号可以省略。

另一个关键的联系是和差公式，它根据两个角度自身的正弦和余弦而给出它们的和差的正弦和余弦。它们可以用几何的方法使用托勒密的论证方法推导出来；还可以用代数方法使用欧拉公式得出。

$\sin \left(x+y\right)=\sin x \cos y + \cos x \sin y$

$\cos \left(x+y\right)=\cos x \cos y - \sin x \sin y$

$\sin \left(x-y\right)=\sin x \cos y - \cos x \sin y$

$\cos \left(x-y\right)=\cos x \cos y + \sin x \sin y$

当两个角相同的时候，和公式简化为更简单的等式，称为二倍角公式。

这些等式还可以用来推导积化和差恒等式，以前曾用它把两个数的积变换成两个数的和而像对数那样使运算更加快速。

[编辑] 微积分

三角函数的积分和导数可参见导数表、积分表和三角函数积分表。下面是六個基本三角函數的導數和積分的列表。

$\ \ \ \ f(x)$	$\frac{d}{dx} f(x)$	$\int f(x)\,dx$
$\,\ \sin x$	$\,\ \cos x$	$\,\ -\cos x + C$
$\,\ \cos x$	$\,\ -\sin x$	$\,\ \sin x + C$
$\,\ \tan x$	$\,\ \sec^{2} x$	$-\ln \left \|\cos x\right \| + C$
$\,\ \cot x$	$\,\ -\csc^{2} x$	$\ln \left \|\sin x\right \| + C$
$\,\ \sec x$	$\,\ \sec{x}\tan{x}$	$\ln \left \|\sec x + \tan x\right \| + C$
$\,\ \csc x$	$\,\ -\csc{x}\cot{x}$	$-\ln \left \|\csc x + \cot x\right \| + C$

[编辑] 利用函数方程定义三角函数

在数学分析中，可以利用基于和差公式这样的性质的函数方程来定义三角函数。例如，取用给定此种公式和毕达哥拉斯恒等式，可以证明只有两个实函数满足这些条件。即存在唯一的一对实函数 sin 和 cos 使得对于所有实数 x 和 y，下列方程成立:

$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1,\,$

$\sin(x+y) = \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y),\,$

$\cos(x+y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y),\,$

并满足附加条件

$0 < x\cos(x) < \sin(x) < x\ \mathrm{for}\ 0 < x < 1$ .

从其他函数方程开始的推导也是可能的，这种推导可以扩展到复数。作为例子，这个推导可以用来定义伽罗瓦域中的三角学。

[编辑] 计算

三角函数的计算是个复杂的主题，由于计算机和提供对任何角度的内置三角函数的科学计算器的广泛使用，现在大多数人都不需要了。本节中将描述它在三个重要背景下的计算详情: 历史上三角函数表的使用，计算机使用的现代技术，以及容易找到简单精确值的一些“重要”角度。（下面只考虑一个角度小范围，比如 0 到 π/2，因为通过三角函数的周期性和对称性，所有其他角度可以化简到这个范围内。）

主条目：生成三角函数表

有计算机之前，人们通常通过对计算到多个有效数字的三角函数表的内插来计算三角函数的值。这种表格在人们刚刚产生三角函数的概念的时候就已经有了，它们通常是通过从已知值（比如sin(π/2)=1）开始并重复应用半角和和差公式而生成。

现代计算机使用了各种技术。^[3] 一个常见的方式，特别是在有浮点单元的高端处理器上，是组合多项式或有理式逼近(比如切比雪夫逼近、最佳一致逼近和Padé逼近，和典型用于更高或可变精度的泰勒级数和罗朗级数)和范围简约与表查找 — 首先在一个较小的表中查找最接近的角度，然后使用多项式来计算修正。^[4] 在缺乏硬件乘法器的简单设备上，有叫做CORDIC算法的一个更有效的算法(和相关技术)，因为它只用了移位和加法。出于性能的原因，所有这些方法通常都用硬件来实现。

对于非常高精度的运算，在级数展开收敛变得太慢的时候，可以用算术几何平均来逼近三角函数，它自身通过复数椭圆积分来逼近三角函数。^[5]

主条目：精确三角函数常数

最后对于一些简单的角度，使用毕达哥拉斯定理可以很容易手工计算三角函数的值，像下面例子这样。事实上， $π / 60$ 弧度(3°)的任何整数倍的正弦、余弦和正切都可以手工计算。

考虑等腰直角三角形，两个角都是 $π / 4$ 弧度(45°)。邻边 b 和对边 a 的长度相等；我们可以选择 $a = b = 1$ 。 $π / 4$ 弧度(45°)的角的正弦、余弦和正切可以通过毕达哥拉斯定理来计算:

$c = \sqrt { a^2+b^2 } = \sqrt2$ .

所以:

$\sin \left(\pi / 4 \right) = \sin \left(45^\circ\right) = \cos \left(\pi / 4 \right) = \cos \left(45^\circ\right) = {1 \over \sqrt2}$ ,

$\tan \left(\pi / 4 \right) = \tan \left(45^\circ\right) = {{\sin \left(\pi / 4 \right)}\over{\cos \left(\pi / 4 \right)}} = {1 \over \sqrt2} \cdot {\sqrt2 \over 1} = {\sqrt2 \over \sqrt2} = 1$ .

要确定π/3弧度(60度)和π/6弧度(30度)角的三角函数，我们可以从边长为 1 的等边三角形开始。它所有的角都是π/3弧度(60度)。把它等分为二，我们便得到一个角是π/6弧度(30度)和一个角是π/3弧度(60度)的直角三角形。这个三角形中，最短的边 = 1/2、第二短的边 =(√3)/2 而斜边 = 1。得出:

$\sin \left(\pi / 6 \right) = \sin \left(30^\circ\right) = \cos \left(\pi / 3 \right) = \cos \left(60^\circ\right) = {1 \over 2}$ ,

$\cos \left(\pi / 6 \right) = \cos \left(30^\circ\right) = \sin \left(\pi / 3 \right) = \sin \left(60^\circ\right) = {\sqrt3 \over 2}$ ,

$\tan \left(\pi / 6 \right) = \tan \left(30^\circ\right) = \cot \left(\pi / 3 \right) = \cot \left(60^\circ\right) = {1 \over \sqrt3}$ .

[编辑] 三角函数的特殊值

三角函数中有一些常用的特殊函数值。

函數名	$0 \ (0^\circ)$	$\frac{\pi}{12} \ (15^\circ)$	$\frac{\pi}{6} \ (30^\circ)$	$\frac{\pi}{4} \ (45^\circ)$	$\frac{\pi}{3} \ (60^\circ)$	$\frac{5\pi}{12} \ (75^\circ)$	$\frac{\pi}{2} \ (90^\circ)$
sin	$0$	$\frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2} } {4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{ \sqrt{6} + \sqrt{2} } {4}$	$1$
cos	$1$	$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2}} {4}$	$0$
tan	$0$	$2-\sqrt{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$2+\sqrt{3}$	$\infty$
cot	$\infty$	$2+\sqrt{3}$	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$2-\sqrt{3}$	$0$
sec	$1$	$\sqrt{6} - \sqrt{2}$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{2}$	$2$	$\sqrt{6}+\sqrt{2}$	$\infty$
csc	$\infty$	$\sqrt{6}+\sqrt{2}$	$2$	$\sqrt{2}$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{6} - \sqrt{2}$	$1$

[编辑] 反三角函数

主条目：反三角函数

由於三角函数屬於周期函数，而不是单射函数，所以严格來說並没有反函数。因此要定义其反函数必须先限制三角函数的定义域，使得三角函数成為双射函数。基本的反三角函数定义为:

反三角函数	定义	值域
$\arcsin(x) = y \,$	$\sin(y) = x \,$	$-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2} \,$
$\arccos(x) = y \,$	$\cos(y) = x \,$	$0 \le y \le \pi \,$
$\arctan(x) = y \,$	$\tan(y) = x \,$	$-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2} \,$
$\arccsc(x) = y \,$	$\csc(y) = x \,$	$-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}, y \ne 0 \,$
$\arcsec(x) = y \,$	$\sec(y) = x \,$	$0 \le y \le \pi, y \ne \frac{\pi}{2} \,$
$\arccot(x) = y \,$	$\cot(y) = x \,$	$0 < y < \pi \,$

对于反三角函数，符号 sin⁻¹ 和 cos⁻¹ 经常用于 arcsin 和 arccos。使用这种符号的时候，反函数可能跟三角函数的倒数混淆。使用“arc-”前缀的符号避免了这种混淆，尽管“arcsec”可能偶尔跟“arcsecond”混淆。

正如正弦和余弦那样，反三角函数也可以根据无穷级数来定义。例如，

$\arcsin z = z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots$

这些函数也可以通过证明它们是其他函数的原函数来定义。例如反正弦函数，可以写为如下积分:

$\arcsin\left(x\right) = \int_0^x \frac 1 {\sqrt{1 - z^2}}\,\mathrm{d}z, \quad |x| < 1$

可以在反三角函数条目中找到类似的公式。使用复对数，可以把这些函数推广到复数辐角上:

$\arcsin (z) = -i \ln \left( i z + \sqrt{1 - z^2} \right)$

$\arccos (z) = -i \ln \left( z + \sqrt{z^2 - 1}\right)$

$\arctan (z) = \frac{i}{2} \ln\left(\frac{1-iz}{1+iz}\right)$

[编辑] 性质和应用

三角函数，正如其名称那样，在三角学中是十分重要的，主要是因为下列两个结果。

[编辑] 正弦定理

正弦定理声称对于边长为 a, b 和 c 而相应角为 A, B 和 C的三角形，有:

$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$

也可表示为:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

其中R是三角形的外接圆半径。

利萨茹曲线，一种三角基的函数形成的图像。

它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用上述正弦的定义来证明。在这个定理中出现的公共数 (sinA)/a 是通过 A, B 和 C 三点的圆的直径的倒数。正弦定理用于在一个三角形的两个角和一个边已知时计算未知边的长度。这是三角测量中常见情况。

[编辑] 余弦定理

余弦定理(也叫做余弦公式)是托勒密定理的推广:

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C \,$

也可表示为:

$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。余弦定理用于在一个三角形的两个边和一个角已知时确定未知的数据。

如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的(边-边-角)。要小心余弦定理的这种歧义情况。

[编辑] 正切定理

还有一个正切定理:

$\frac{a+b}{a-b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(A+B)]}{\tan[\frac{1}{2}(A-B)]}$

[编辑] 周期函数

谐波数目递增的方波的加法合成的动画。

三角函数在物理中也是重要的。例如，正弦和余弦函数被用来描述简谐运动，它描述了很多自然现象，比如附着在弹簧上的物体的振动，挂在绳子上物体的小角度摆动。正弦和余弦函数是圆周运动的一维投影。

三角函数在一般周期函数的研究中也很有用。这些函数有作为图像的特征波模式，在描述循环现象比如声波或光波的时候是很有用的。每一个信号都可以记为不同频率的正弦和余弦函数的(通常是无限的)和；这是傅立叶分析的基础想法，这里的三角级数可以用来解微分方程的各种边值问题。例如，方波可以写为傅立叶级数

$x_{\mathrm{square}}(t) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^\infty {\sin{\left ( (2k-1)t \right )}\over(2k-1)}.$

在右边的动画中，可以看到只用少数的项就已经形成了非常准确的估计。

[编辑] 注释

^ Abramowitz; Weisstein.
^ Needham, p. ix.
^ Kantabutra.
^ However, doing that while maintaining precision is nontrivial, and methods like Gal's accurate tables, Cody and Waite reduction, and Payne and Hanek reduction algorithms can be used.
^ R. P. Brent, "Fast Multiple-Precision Evaluation of Elementary Functions", J. ACM 23, 242 (1976).

[编辑] 参考文献

Abramowitz, Milton、Irene A. Stegun，，《Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables》，Dover，New York (1964年)，ISBN 0-486-61272-4。
Boyer, Carl B., 《A History of Mathematics》，John Wiley & Sons, Inc.，第二版（1991年），ISBN 0-471-54397-7。
Joseph, George G.，《The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics》，第二版，Penguin Books，London，（2000年），ISBN 0-691-00659-8。
Kantabutra, Vitit，《On hardware for computing exponential and trigonometric functions》，IEEE Trans. Computers 45 (3), 328-339 （1996年）。
Maor, Eli，《Trigonometric Delights》，Princeton Univ. Press. （1998年），重印版（2005年2月25日）： ISBN 0-691-09541-8。
Needham, Tristan，《Preface》，Visual Complex Analysis，Oxford University Press，（1999年），ISBN 0-19-853446-9。
O'Connor, J.J.、E.F. Robertson，《Trigonometric functions》，MacTutor History of Mathematics Archive，(1996年)。
O'Connor, J.J.、E.F. Robertson，《Madhava of Sangamagramma》， MacTutor History of Mathematics Archive，(2000年)。
Pearce, Ian G.，《Madhava of Sangamagramma》，MacTutor History of Mathematics Archive，（2002年）。
Weisstein, Eric W.，《Tangent》，MathWorld，2006年1月21日访问。

[编辑] 参见

[编辑] 外部链接

Engineers Edge的三角函數列表
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正弦和餘弦函數─以REXX來表示
三角函數─以單位圓展示三角函數的互動繪圖（需Java）
以角度和弧度表示的角所對應的函數值
單位圓教學Flash動畫
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