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拐点

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微积分学
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函数 · 导数 · 微分 · 积分
y=x3的函數圖形,原點是其拐點
反正切函數的拐點

數學上,一個反曲點拐點是一條可微曲線改變凹凸性的點,或者等價地說,是使切線穿越曲線的點。

決定曲線的拐點有助於理解曲線的外形,這在描繪曲線圖形時特別有用。

定義[编辑]

若曲線圖形在一點由凸轉凹,或由凹轉凸,則稱此點為拐點。直觀地說,拐點是使切線穿越曲線的點。

若該曲線圖形的函數在某点的二阶導數為零(且二阶导数在该点两侧符号相反),或不存在,该点即为函数的拐点。這是尋找拐點時最實用的方法之一。

拐点的充要条件[编辑]

拐点的必要条件:设f(x)(a,b)内二阶可导,x_0\in (a,b),若(x_0 ,f(x_0 ))是曲线y=f(x)的一个拐点,则f''(x_0 )=0比如,f(x)=x^4,有f''(0)=0,但是0两侧全是凸,所以0不是函数f(x)=x^4的拐点。

拐点的充分条件:设f(x)(a,b)内二阶可导,f''(x_0)=0,若在x_0两侧附近f''(x_0)异号,则点(x_0,f(x_0))为曲线的拐点。否则(即f''(x_0)保持同号),(x_0,f(x_0))不是拐点。

分類[编辑]

拐點可以根據 f'x)為零或不為零,進行分類。

  • 如果f'x)為零,此點為拐點的驻点,簡稱為鞍點
  • 如果f'x)不為零,此點為拐點的非驻点

舉一個鞍点的例子,是y=x³的點(0,0)。切線為x軸;切線正好在將圖像分為兩半。

參數曲線的拐點[编辑]

平面參數曲線的拐點是使其曲率變號的點,此時曲率中心(居於曲線凹側)從曲線的一側換至另一側。

雙正則點與拐點[编辑]

雙正則點是使得參數曲線的一階與二階微分(它們是向量)線性獨立的點。在雙正則點上,曲線既無拐點亦非直線。在非雙正則點上曲率為零,但是不一定有變號。在尋找參數曲線的拐點時,我們通常先以微分找出非雙正則點,繼之研究其局部性狀,以判定是否為拐點。

:某些作者偏好將拐點定義為「使一階與二階微分平行的點」,在此定義下,切線不一定在該點穿越曲線本身。

代數曲線的拐點[编辑]

CF上的平面代數曲線,其拐點定義為一平滑點P \in C(F),使得該點切線L_PCP點的相交重數\geq 3

注意到一條曲線與CP點相切的充要條件是相交重數\geq 2。當F = \mathbb{R}時,代數曲線的拐點定義等價於上節註記中的廣義定義。

参见[编辑]

文獻[编辑]