拐点

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微积分学
\text{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
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y=x3的函數圖形，原點是其拐點
反正切函數的拐點

在數學上，一個反曲點或拐點是一條可微曲線改變凸性的點，或者等價地說，是使切線穿越曲線的點。

決定曲線的拐點有助於理解曲線的外形，這在描繪曲線圖形時特別有用。

目录

[编辑] 定義

若曲線圖形在一點由凸轉凹，或由凹轉凸，則稱此點為拐點。直觀地說，拐點是使切線穿越曲線的點。

若該曲線圖形的函數在拐點有二次導數，則二次導數必為零或不存在。這是尋找拐點時最實用的方法之一。

[编辑] 分類

拐點可以根據 f'（x）為零或不為零，進行分類。

  • 如果f'（x）為零，此點為拐點的驻点，簡稱為鞍點。
  • 如果f'（x）不為零，此點為拐點的非驻点。

舉一個鞍点的例子，是y=x³的點（0,0）。切線為x軸；切線正好在將圖像分為兩半。

[编辑] 參數曲線的拐點

平面參數曲線的拐點是使其曲率變號的點，此時曲率中心（居於曲線凹側）從曲線的一側換至另一側。

[编辑] 雙正則點與拐點

雙正則點是使得參數曲線的一階與二階微分（它們是向量）線性獨立的點。在雙正則點上，曲線既無拐點亦非直線。在非雙正則點上曲率為零，但是不一定有變號。在尋找參數曲線的拐點時，我們通常先以微分找出非雙正則點，繼之研究其局部性狀，以判定是否為拐點。

註：某些作者偏好將拐點定義為「使一階與二階微分平行的點」，在此定義下，切線不一定在該點穿越曲線本身。

[编辑] 代數曲線的拐點

設C為域F上的平面代數曲線，其拐點定義為一平滑點P \in C(F)，使得該點切線L_P與C在P點的相交重數\geq 3。

注意到一條曲線與C在P點相切的充要條件是相交重數\geq 2。當F = \mathbb{R}時，代數曲線的拐點定義等價於上節註記中的廣義定義。

[编辑] 参见

[编辑] 文獻

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