除法定则

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除法定则是数学中关于两个函数的商的导数的一个计算定则。

若已知两个连续函数f,g及其导数f',g'，则它们的商

$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$

的导数为:

$\frac{d}{dx}f(x) = f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{{h(x)}^2}.$

[编辑] 例子

(4 x - 2) / (x 2 + 1)

的导数为：

$\frac{d}{dx} \frac{(4x - 2)}{x^2 + 1}$	$=\frac{(x^2 + 1)(4) - (4x - 2)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$
	$=\frac{(4x^2 + 4) - (8x^2 - 4x)}{(x^2 + 1)^2}$
	$=\frac{-4x^2 + 4x + 4}{(x^2 + 1)^2}$

$f(x) = \frac{2x^2}{x^3}$ 的导数为：

$f'(x)\,$	$=\frac {\left(4x \cdot x^3 \right) - \left(2x^2 \cdot 3x^2 \right)} {\left(x^3\right)^2}$
	$=\frac{4x^4 - 6x^4}{x^6}$
	$=\frac{-2x^4}{x^6}$
	$=-\frac{2}{x^2}$

[编辑] 证明

设

f (x) = g (x) / h (x)

，

h (x)

≠ 0，且

g

和

h

均可导。

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x + \Delta x)}{h(x + \Delta x)} - \frac{g(x)}{h(x)}}{\Delta x}$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)}{h(x)h(x+\Delta x)} \right)$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{(g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x))-(g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)} \right)$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{h(x)(g(x+\Delta x)-g(x))-g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)} \right)$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}h(x)-g(x)\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}{h(x)h(x+\Delta x)}$

$= \frac{\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right)h(x) - g(x) \lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}\right)}{h(x)h(\lim_{\Delta x \to 0} (x+\Delta x))}$