偏导数

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微积分学
\text{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
函数 · 导数 · 微分 · 积分

数学中,一个多变量的函数的偏导数是它关于其中一个变量的导数,而保持其他变量恒定(相对于全导数,在其中所有变量都允许变化)。偏导数在向量分析微分几何中是很有用的。

函数f关于变量x的偏导数写为f_x^{\prime}\frac{\partial f}{\partial x}。偏导数符号\partial是圆体字母[來源請求],区别于全导数符号的正体 d。 这个符号是阿德里安-马里·勒让德引入的并在雅可比的重新引入后得到普遍接受。

简介[编辑]

假设ƒ是一个多元函数。例如:

 z = f(x, y) = x^2 + xy + y^2
f = x2 + xy + y2的图像。我们希望求出函数在点(1, 1, 3)的对x的偏导数;对应的切线与xOz平面平行。

因为曲面上的每一点都有无穷多条切线,描述这种函数的导数相当困难。偏导数就是选择其中一条切线,并求出它的斜率。通常,最感兴趣的是垂直于y轴(平行于xOz平面)的切线,以及垂直于x轴(平行于yOz平面)的切线。

这是右图中y = 1时的图像片段。

一种求出这些切线的好办法是把其他变量视为常数。例如,欲求出以上的函数在点(1, 1, 3)的与xOz平面平行的切线。右图中显示了函数的图像以及这个平面。左图中显示了函数在平面y = 1上是什么样的。我们把变量y视为常数,通过对方程求导,我们发现ƒ在点(x, y, z)的。我们把它记为:

\frac{\partial z}{\partial x} = 2x+y

于是在点(1, 1, 3)的与xOz平面平行的切线的斜率是3。

\frac{\part f}{\part x} = 3

在点(1, 1, 3),或称“f在(1, 1, 3)的关于x的偏导数是3”。

定义[编辑]

函数f可以解释为y为自变量而x为常数的函数:

f(x,y) = f_x(y) = \,\! x^2 + xy + y^2

也就是说,每一个x的值定义了一个函数,记为fx,它是一个一元函数。也就是说:

f_x(y) = x^2 + xy + y^2

一旦选择了一个x的值,例如a,那么f(x,y)便定义了一个函数fa,把y映射到a2 + ay + y2

f_a(y) = a^2 + ay + y^2

在这个表达式中,a常数,而不是变量,因此fa是只有一个变量的函数,这个变量是y。这样,便可以使用一元函数的导数的定义:

f_a'(y)= a + 2y

以上的步骤适用于任何a的选择。把这些导数合并起来,便得到了一个函数,它描述了fy方向上的变化:

\frac{\part f}{\part y}(x,y) = x + 2y

这就是f关于y的偏导数,在这裡,∂是一个弯曲的d,称为偏导数符号。为了把它与字母d区分,∂有时读作“der”、“del”、“dah”或“偏”,而不是“dee”。

一般地,函数f(x1,...,xn)在点(a1,...,an)关于xi的偏导数定义为:

\frac{\part f}{\part x_i}(a_1,\ldots,a_n) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a_1,\ldots,a_i+h,\ldots,a_n) - f(a_1,\ldots,a_n)}{h}

在以上的差商中,除了xi以外的所有变量都是固定的。这个固定值的选择决定了一个一元函数f_{a_1,\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_n}(x_i) = f(a_1,\ldots,a_{i-1},x_i,a_{i+1},\ldots,a_n),根据定义,

\frac{df_{a_1,\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_n}}{dx_i}(a_1,\ldots,a_n) = \frac{\part f}{\part x_i}(a_1,\ldots,a_n)

这个表达式说明了偏导数的计算可以化为一元导数的计算。

多变量函数的一个重要的例子,是欧几里德空间Rn(例如R2R3)上的标量值函数f(x1,...xn)。在这种情况下,f关于每一个变量xj具有偏导数∂f/∂xj。在点a,这些偏导数定义了一个向量:

\nabla f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\right)

这个向量称为f在点a梯度。如果f在定义域中的每一个点都是可微的,那么梯度便是一个向量值函数∇f,它把点a映射到向量∇fa)。这样,梯度便决定了一个向量场

一个常见的符号滥用是在欧几里得空间R3中用单位向量 \mathbf{\hat{i}}, \mathbf{\hat{j}}, \mathbf{\hat{k}}来定义Nabla算子 (∇) 如下:

\nabla = \bigg[{\frac{\partial}{\partial x}} \bigg] \mathbf{\hat{i}} + \bigg[{\frac{\partial}{\partial y}}\bigg] \mathbf{\hat{j}} + \bigg[{\frac{\partial}{\partial z}}\bigg] \mathbf{\hat{k}}

或者,更一般地,对于n维欧几里得空间Rn 的坐标(x1, x2, x3,...,xn)和单位向量(\mathbf{\hat{e}_1}, \mathbf{\hat{e}_2}, \mathbf{\hat{e}_3}, \dots , \mathbf{\hat{e}_n}):

\nabla = \sum_{j=1}^n \bigg[{\frac{\partial}{\partial x_j}}\bigg] \mathbf{\hat{e}_j} = \bigg[{\frac{\partial}{\partial x_1}}\bigg] \mathbf{\hat{e}_1} + \bigg[{\frac{\partial}{\partial x_2}}\bigg] \mathbf{\hat{e}_2} + \bigg[{\frac{\partial}{\partial x_3}}\bigg] \mathbf{\hat{e}_3} + \dots + \bigg[{\frac{\partial}{\partial x_n}}\bigg] \mathbf{\hat{e}_n}

例子[编辑]

圆锥的体积与它的高度和半径有关

考虑一个圆锥体积V;它与高度h半径r有以下的关系:

V(r, h) = \frac{\pi r^2 h}{3}

V关于r的偏导数为:

\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2 \pi r h}{3}

它描述了高度固定而半径变化时,圆锥的体积的变化率。V关于h的偏导数为:

\frac{ \partial V}{\partial h} = \frac{\pi r^2}{3}

它描述了半径固定而高度变化时,圆锥的体积的变化率。

现在考虑V关于rh全导数。它们分别是:

\frac{\operatorname dV}{\operatorname dr} = \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r} + \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial h}\frac{\partial h}{\partial r}

以及

\frac{\operatorname dV}{\operatorname dh} = \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial h} + \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial h}

现在假设,由于某些原因,高度和半径的比k需要是固定的:

k = \frac{h}{r} = \frac{\partial h}{\partial r}

这便给出了关于r的全导数:

\frac{\operatorname dV}{\operatorname dr} = \frac{2 \pi r h}{3} + k\frac{\pi r^2}{3}

可以化简为:

\frac{\operatorname dV}{\operatorname dr} = k\pi r^2

类似地,关于h的全导数是:

\frac{\operatorname dV}{\operatorname dh} = k\pi r^2

含有未知函数的偏导数的方程,称为偏微分方程,它在物理学工程学,以及其它应用科学中经常会见到。

与关于rh二者相关的全导数是由雅可比矩阵给出的,它的形式为梯度向量\nabla V =(\frac{\partial V}{\partial r},\frac{\partial V}{\partial h}) = (\frac{2}{3}\pi rh, \frac{1}{3}\pi r^2)

记法[编辑]

在以下的例子中,设fxyz的函数。

f的一阶偏导数为:

\frac{ \partial f}{ \partial x} = f_x = \partial_x f

二阶偏导数为:

\frac{ \partial^2 f}{ \partial x^2} = f_{xx} = \partial_{xx} f

二阶混合偏导数为:

\frac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) = f_{xy} = \partial_{yx} f

高阶偏导数为:

\frac{ \partial^{i+j+k} f}{ \partial x^i\, \partial y^j\, \partial z^k } = f^{(i, j, k)}

当处理多变量函数时,有些变量可能互相有关,这样就需要明确指定哪些变量是固定的。在诸如统计力学的领域中,f关于x的偏导数,把yz视为常数,通常记为:

\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_{y,z}

正式定义和性质[编辑]

像导数一样,偏导数也是定义为一个极限。设URn的一个开子集f : UR是一个函数。我们定义f在点a = (a1, ..., an) ∈ U关于第i个变量xi的偏导数为:

\frac{ \partial }{\partial x_i }f(\mathbf{a}) =
\lim_{h \rightarrow 0}{
f(a_1, \dots , a_{i-1}, a_i+h, a_{i+1}, \dots ,a_n) -
f(a_1, \dots ,a_n) \over h }

即使在某个给定的点a,所有的偏导数∂f/∂xi(a)都存在,函数仍然不一定在该点连续。然而,如果所有的偏导数在a的一个邻域内存在并连续,那么f在该邻域内完全可微分,且全导数是连续的。在这种情况下,我们称f是一个C1函数。

偏导数\frac{\partial f}{\partial x}可以视为定义在U内的另外一个函数,并可以再次求偏导数。如果所有的混合二阶偏导数在某个点(或集合)连续,我们便称f为在该点(或集合)的一个C2函数;在这种情况下,根据克莱罗定理,偏导数可以互相交换:

\frac{\partial^2f}{\partial x_i\, \partial x_j} = \frac{\partial^2f} {\partial x_j\, \partial x_i}

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  • George B. Thomas & Ross L. Finney. Calculus and Analytic Geometry. Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 1994: 833–840. ISBN 0-201-52929-7.