洛必达法则

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微积分学
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函数 · 导数 · 微分 · 积分

羅必達法則(l'Hôpital's rule)是利用導數來計算具有不定型極限的方法。這法則是由瑞士數學家約翰·伯努利(Johann Bernoulli)所發現的,因此也被叫作伯努利法則(Bernoulli's rule)。

叙述[编辑]

洛必达法则适用于各种不定式极限,以下首先叙述\frac00型不定式极限相关的洛比达法则。\frac00型不定式是指这样一种函数的极限:这个函数可以写成两个函数f(x)与F(x)的比值,而这两个函数同时趋向于0。洛比达法则可以将这种不定式极限转化为另一个极限。

第一种形式[编辑]

如果

  1. x\to a时,函数f(x)与F(x)都趋于零;
  2. 在点a的某去心邻域内,f^\prime(x)F^\prime(x)都存在,且F^\prime(x)\ne 0
  3. \lim_{x\to a}{\frac{f^\prime(x)}{F^\prime(x)}}存在(或為無窮大),

那么

\lim_{x\to a}{\frac{f(x)}{F(x)}}=\lim_{x\to a}{\frac{f^\prime(x)}{F^\prime(x)}}

第二种形式[编辑]

如果

  1. x\to\infty时,函数f(x)与F(x)都趋于零;
  2. \left|x\right|>N时,f^\prime(x)F^\prime(x)都存在,且F^\prime(x)\ne 0
  3. \lim_{x\to \infty}{\frac{f^\prime(x)}{F^\prime(x)}}存在(或为无穷大),

那么

\lim_{x\to \infty}{\frac{f(x)}{F(x)}}=\lim_{x\to \infty}{\frac{f^\prime(x)}{F^\prime(x)}}.

这两个形式的差别仅仅在于自变量趋向极限的方式。总的来说,\frac00型不定式极限的洛比达法则告诉我们,这个极限,等于将分子函数和分母函数各自求导之后,其比值的极限。 对于其他的一些不定式极限,可以将其转化为\frac00型不定式极限,然后应用洛比达法则。比如\frac{\infty}{\infty}型不定式极限,可以转化如下:

\frac{\infty}{\infty} = \frac{1/\infty}{1/\infty} = \frac00 .

0 \cdot \infty 型不定式极限,可以转化如下:

 0 \cdot \infty   = \frac{0}{1/\infty} = \frac00 .

 \infty - \infty 型不定式极限,可以转化如下:

 \infty - \infty^\prime  = \frac{1}{0} - \frac{1}{0^\prime} = \frac{0^\prime - 0}{0 \cdot 0^\prime} .

 0^0 型不定式极限,可以转化如下:

 0^0 = 0\div0 = \frac{0}{0} .

證明[编辑]

下面仅给出第一种形式的证明。第二种形式的证明与之类似。

设兩函數f(x)g(x)在a 點附近连续可导,\ f(x)\ g(x)都在 a 點連續,且其值皆為 0 ,

f(a) = 0;\; g(a) = 0, \qquad \lim_{x \to a} f(x) = 0;\; \lim_{x \to a} g(x) = 0

为了叙述方便,假设两函数在 a 点附近都不为0。另一方面,两函数的导数比值在 a 点存在,记为

\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L.

由连续性的定义,对任何一个 \epsilon > 0,都存在\eta > 0,使得对任意的a - \eta \leqslant x \leqslant a + \eta, \,\, x \neq a,都有:

L - \epsilon\leqslant \frac{f'(x)}{g'(x)} \leqslant L + \epsilon

而根据柯西中值定理,对任意的a - \eta \leqslant x \leqslant a + \eta, \,\, x \neq a,都存在一个介于a x之间的数\xi,使得:

 \frac{f(x)}{g(x)}   = \frac{ f(x) - f(a) }{ g(x) - g(a) }  =  \frac{f'( \xi )}{g'( \xi )}
于是,    L - \epsilon \leqslant \frac{f(x)}{g(x)} \leqslant L + \epsilon

因此,

极限  \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = L = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} .

例子[编辑]

\lim_{x \to 0} \mathrm{sinc}(x)\, = \lim_{x \to 0} \frac{\sin \pi x}{\pi x}\, = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\,
= \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} \,  = \frac{1}{1} = 1\,
\lim_{x\to 0} {2\sin x-\sin 2x \over x-\sin x} =\lim_{x\to 0}{2\cos x-2\cos 2x \over 1-\cos x}
=\lim_{x\to 0}{-2\sin x +4\sin 2x \over \sin x}
=\lim_{x\to 0}{-2\cos x +8\cos 2x \over \cos x}
={-2\cos 0 +8\cos 0 \over \cos 0}
=6\,
\lim_{x\to 0} {r^x - 1 \over x} =\lim_{x \to 0}{\frac{d}{dx}r^x \over \frac{d}{dx}x}
=\lim_{x \to 0}{r^x \ln r \over 1}
=\ln r \lim_{x \to 0}{r^x}
=\ln r\!
\lim_{x\to 0}{e^x-1-x \over x^2}
=\lim_{x\to 0}{e^x-1 \over 2x}
=\lim_{x\to 0}{e^x \over 2}={1 \over 2}

  \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln(x)}
  = \lim_{x \to \infty} \frac{\ 1/(2 \sqrt{x})\ }{1/x}
  = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2}
  = \infty
\lim_{x\to\infty} x^n e^{-x}
=\lim_{x\to\infty}{x^n \over e^x}
=\lim_{x\to\infty}{nx^{n-1} \over e^x}
=n\lim_{x\to\infty}{x^{n-1} \over e^x}= 0
\lim_{x\to 0+} (x  \ln x) =\lim_{x\to 0+}{\ln x \over 1/x}
=\lim_{x\to 0+}{1/x \over -1/x^2}
=\lim_{x\to 0+} -x = 0
\lim_{t\to 0}\, \mathrm{sinc}(f_0 t)\cdot \frac{\cos\left(\pi \alpha f_0 t\right)}{\left[1 - \left(2 \alpha f_0 t\right)^2\right]} = \left\{\lim_{t\to 0}\, \mathrm{sinc}(f_0 t)\right\}\cdot \left. \frac{\cos\left(\pi \alpha f_0 t\right)}{\left[1 - \left(2 \alpha f_0 t\right)^2\right]} \, \right|_{t = 0}
= 1 \cdot 1 = 1
\lim_{t\to \frac{1}{2\alpha f_0}} \mathrm{sinc}(f_0 t)\cdot \frac{\cos\left(\pi \alpha f_0 t\right)}{\left[1 - \left(2 \alpha f_0 t\right)^2\right]} = \mathrm{sinc}\left(\frac{1}{2\alpha}\right)\cdot \lim_{t\to \frac{1}{2\alpha f_0}} \frac{\cos\left(\pi \alpha f_0 t\right)}{\left[1 - \left(2 \alpha f_0 t\right)^2\right]}
= \mathrm{sinc}\left(\frac{1}{2\alpha}\right)\cdot \left(\frac{-\pi /2}{-2}\right)
= \sin\left(\frac{\pi}{2\alpha}\right)\cdot \frac{\alpha}{2}

参阅[编辑]


注释与参考[编辑]

注释[编辑]


参考文献[编辑]