洛必达法则

羅必達法則（l'Hôpital's rule）是利用導數來計算具有不定型的極限的方法。這法則是由瑞士數學家約翰·伯努利（Johann Bernoulli）所發現的，因此也被叫作伯努利法則（Bernoulli's rule）。

叙述

洛比达法则适用于各种不定式极限，以下首先叙述$\frac00$型不定式极限相关的洛比达法则。$\frac00$型不定式是指这样一种函数的极限：这个函数可以写成两个函数f(x)与F(x)的比值，而这两个函数同时趋向于0。洛比达法则可以将这种不定式极限转化为另一个极限。

第一种形式

如果

1. 当$x\to a$时，函数f(x)与F(x)都趋于零；
2. 在点a的某去心邻域内，$f^\prime(x)$及$F^\prime(x)$都存在，且$F^\prime(x)\ne 0$
3. $\lim_{x\to a}{\frac{f^\prime(x)}{F^\prime(x)}}$存在（或為無窮大），

那么

$\lim_{x\to a}{\frac{f(x)}{F(x)}}=\lim_{x\to a}{\frac{f^\prime(x)}{F^\prime(x)}}$

第二种形式

如果

1. 当$x\to\infty$时，函数f(x)与F(x)都趋于零；
2. 在$\left|x\right|>N$时，$f^\prime(x)$及$F^\prime(x)$都存在，且$F^\prime(x)\ne 0$
3. $\lim_{x\to \infty}{\frac{f^\prime(x)}{F^\prime(x)}}$存在（或为无穷大），

那么

$\lim_{x\to \infty}{\frac{f(x)}{F(x)}}=\lim_{x\to \infty}{\frac{f^\prime(x)}{F^\prime(x)}}.$

这两个形式的差别仅仅在于自变量趋向极限的方式。总的来说，$\frac00$型不定式极限的洛比达法则告诉我们，这个极限，等于将分子函数和分母函数各自求导之后，其比值的极限。 对于其他的一些不定式极限，可以将其转化为$\frac00$型不定式极限，然后应用洛比达法则。比如$\frac{\infty}{\infty}$型不定式极限，可以转化如下：

$\frac{\infty}{\infty} = \frac{1/\infty}{1/\infty} = \frac00 .$

$0 \cdot \infty$型不定式极限，可以转化如下：

$0 \cdot \infty = \frac{0}{1/\infty} = \frac00 .$

$\infty - \infty$型不定式极限，可以转化如下：

$\infty - \infty^\prime = \frac{1}{0} - \frac{1}{0^\prime} = \frac{0 - 0^\prime}{0 \cdot 0^\prime} .$

證明

下面仅给出第一种形式的证明。第二种形式的证明与之类似。

设兩函數$f(x)$及$g(x)$在a 點附近连续可导，$\ f(x)$及$\ g(x)$都在 a 點連續，且其值皆為 0 ，

$f(a) = 0;\; g(a) = 0, \qquad \lim_{x \to a} f(x) = 0;\; \lim_{x \to a} g(x) = 0$

为了叙述方便，假设两函数在 a 点附近都不为0。另一方面，两函数的导数比值在 a 点存在，记为

$\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L.$

由连续性的定义，对任何一个$\epsilon > 0$，都存在$\eta > 0$，使得对任意的$a - \eta \leqslant x \leqslant a + \eta, \,\, x \neq a$，都有：

$L - \epsilon\leqslant \frac{f'(x)}{g'(x)} \leqslant L + \epsilon$

而根据柯西中值定理，对任意的$a - \eta \leqslant x \leqslant a + \eta, \,\, x \neq a$，都存在一个介于$a$和$x$之间的数$\xi$，使得：

$\frac{f(x)}{g(x)}$	$= \frac{ f(x) - f(a) }{ g(x) - g(a) } = \frac{f'( \xi )}{g'( \xi )}$
于是，	$L - \epsilon \leqslant \frac{f(x)}{g(x)} \leqslant L + \epsilon$

因此，

极限$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = L = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} .$

例子

$\lim_{x \to 0} \mathrm{sinc}(x)\,$	$= \lim_{x \to 0} \frac{\sin \pi x}{\pi x}\,$	$= \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\,$
	$= \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} \,$	$= \frac{1}{1} = 1\,$

$\lim_{x\to 0} {2\sin x-\sin 2x \over x-\sin x}$	$=\lim_{x\to 0}{2\cos x-2\cos 2x \over 1-\cos x}$
	$=\lim_{x\to 0}{-2\sin x +4\sin 2x \over \sin x}$
	$=\lim_{x\to 0}{-2\cos x +8\cos 2x \over \cos x}$
	$={-2\cos 0 +8\cos 0 \over \cos 0}$
	$=6\,$

$\lim_{x\to 0} {r^x - 1 \over x}$	$=\lim_{x \to 0}{\frac{d}{dx}r^x \over \frac{d}{dx}x}$
	$=\lim_{x \to 0}{r^x \ln r \over 1}$
	$=\ln r \lim_{x \to 0}{r^x}$
	$=\ln r\!$

$\lim_{x\to 0}{e^x-1-x \over x^2} =\lim_{x\to 0}{e^x-1 \over 2x} =\lim_{x\to 0}{e^x \over 2}={1 \over 2}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{\ 1/(2 \sqrt{x})\ }{1/x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2} = \infty$

$\lim_{x\to\infty} x^n e^{-x} =\lim_{x\to\infty}{x^n \over e^x} =\lim_{x\to\infty}{nx^{n-1} \over e^x} =n\lim_{x\to\infty}{x^{n-1} \over e^x}$

$\lim_{x\to 0+} (x \ln x) =\lim_{x\to 0+}{\ln x \over 1/x} =\lim_{x\to 0+}{1/x \over -1/x^2} =\lim_{x\to 0+} -x = 0$

$\lim_{t\to 0}\, \mathrm{sinc}(f_0 t)\cdot \frac{\cos\left(\pi \alpha f_0 t\right)}{\left[1 - \left(2 \alpha f_0 t\right)^2\right]}$	$= \left\{\lim_{t\to 0}\, \mathrm{sinc}(f_0 t)\right\}\cdot \left. \frac{\cos\left(\pi \alpha f_0 t\right)}{\left[1 - \left(2 \alpha f_0 t\right)^2\right]} \, \right|_{t = 0}$
	$= 1 \cdot 1 = 1$

$\lim_{t\to \frac{1}{2\alpha f_0}} \mathrm{sinc}(f_0 t)\cdot \frac{\cos\left(\pi \alpha f_0 t\right)}{\left[1 - \left(2 \alpha f_0 t\right)^2\right]}$	$= \mathrm{sinc}\left(\frac{1}{2\alpha}\right)\cdot \lim_{t\to \frac{1}{2\alpha f_0}} \frac{\cos\left(\pi \alpha f_0 t\right)}{\left[1 - \left(2 \alpha f_0 t\right)^2\right]}$
	$= \mathrm{sinc}\left(\frac{1}{2\alpha}\right)\cdot \left(\frac{-\pi /2}{-2}\right)$
	$= \sin\left(\frac{\pi}{2\alpha}\right)\cdot \frac{\alpha}{2}$

参阅

• 极限