不定积分

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微积分学
微积分基础函数初等函数极限数列夹挤定理连续间断点一元微积分导数与微分高阶导数介值定理中值定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理泰勒公式洛必达法则导数的函数应用单调性极值凹凸性曲率积分不定积分积分表三角函数积分表反函数积分表反双曲函数积分表对数函数积分表指数函数积分表无理函数积分表有理函数积分表定积分牛顿-莱布尼茨公式广义积分判别法柯西判别法阿贝尔判别法狄里克雷判别法主值柯西主值 β函数 Γ函数多元微积分多元函数微分多元函数偏导数隐函数全微分方向导数梯度泰勒公式多元函数积分重积分二重-三重-多重广义重积分曲线积分曲面积分格林公式高斯公式斯托克斯公式散度和旋度微分方程常微分方程差分方程拉普拉斯变换法微积分的应用微积分的几何应用平面图形的面积平面曲线的切线和弧长旋转体的体积旋转曲面的面积曲面的切平面和法线空间曲线的切线和法平面微积分的物理应用运动的位移、加速度力所做的功物质的质量静力矩、惯性矩和重心微积分的经济应用边际弹性、交叉弹性收益流的现值和将来值成本分析、净资产分析

在微积分中，一个函数 $f$ 的不定积分，或原函数，是一个导数等于 $f$ 的函数 $F$ ，即是说满足F ′ = f。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。

$\begin{matrix} \int f(x)dx = F(x)\end{matrix}$

其中 $F$ 是 $f$ 的不定积分。这样，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。

[编辑] 例子

函数 F(x) = x³/3 是函数 f(x) = x² 的一个原函数，但实际上 $f$ 的原函数有无穷多个。(x³ / 3) + 7, (x³ / 3) − 42 等与 $F$ 相差一个常数的函数都是 $f$ 的原函数，因为常数函数的导数是零函数。函数族 $\left\{ \frac{x^3}{3} + C \; | \; C \in \mathbb{R} \right\}$ 称为函数 f的原函数族，其中 $C$ 叫做积分常数。从图像上来看，这是F(x) = x³/3 垂直平移后得到的一组函数，几何上的解释就是它们在X轴同一点上的斜率都是一样的。

[编辑] 性质

[编辑] 微积分基本定理

不定积分的一个重要应用是计算定积分，微积分基本定理建立了两者间的关系。

微积分基本定理：如果 $f$ 是闭区间 $[a, b]$ 上的连续函数， $F$ 是 $f$ 在 $[a, b]$ 上的一个原函数，那么

$\begin{matrix} \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\end{matrix}$

证明：取区间 $[a, b]$ 的一个分割： $\begin{matrix}a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b\end{matrix}$ ，又设 $\begin{matrix}\Delta x_{i} = x_{i+1} - x_{i}\end{matrix}$ ，根据拉格朗日中值定理有

$\begin{matrix}F(x_{i+1}) - F(x_{i}) = F^\prime(\xi_{i}) \cdot \Delta x_{i}\end{matrix}$

所以 $\begin{matrix}F(b)-F(a) = \sum_{i=0}^{n-1} (F(x_{i+1}) - F(x_{i}))\end{matrix}$

$\begin{matrix}= \sum_{i=0}^{n-1} F^\prime(\xi_{i}) \cdot \Delta x_{i} \end{matrix}$

$\begin{matrix}= \sum_{i=0}^{n-1} f(\xi_{i}) \cdot \Delta x_{i} \end{matrix}$

$f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，故黎曼可积，于是

$\begin{matrix}\lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} f(\xi_{i}) \cdot \Delta x_{i} = \int_a^b f(x)\,dx \end{matrix}$

于是：

$\begin{matrix} \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a).\end{matrix}$

因此，f的原函数族中的每个函数都可以叫做f的不定积分，简写作 $\int f(x)\, dx.$ ，因为在计算定积分时，积分常数在相减时消掉了。如果 $F$ 定义在几个不同的区间上，那么每个区间上的积分常数可以互不相同。例如

$\begin{matrix}F(x)=\begin{cases\frac{1}{x}+C_1\quad x<0\\-\frac{1}{x}+C_2\quad x>0\end{cases}\end{matrix}$ }-

就是 $\begin{matrix}f(x)=1/x^2\end{matrix}$ 的不定积分的一般形式。它的定义区间是 $\begin{matrix}(-\infty,0)\cup(0,\infty)\end{matrix}$ 。

[编辑] 积分上限函数

每个连续函数都有原函数，在某点 $a$ 取值为零的 $f$ 的原函数可以表示为如下的积分上限函数：

$\begin{matrix}F(x)=\int_a^x f(t)\,dt\end{matrix}$

下面给出积分上限函数是原函数的证明：

设函数 $\begin{matrix}\Phi(x)=\int_a^x f(t)\,dt\end{matrix}$ ，下证：

$\begin{matrix}\Phi^\prime(x)= \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)\end{matrix}$ 。

证明：

$\begin{matrix}\Phi(x+ \Delta x)-\Phi(x)=\int_a^{x+ \Delta x} f(t)\,dt -\int_a^{x} f(t)\,dt \end{matrix}$

$\begin{matrix} = \int_x^{x+ \Delta x} f(t)\,dt\end{matrix}$

$\begin{matrix} = f(\xi) \cdot \Delta x \end{matrix}$ ，其中 $\begin{matrix}x < \xi < x+ \Delta x \end{matrix}$ ，当 $\begin{matrix}\Delta x \to 0\end{matrix}$ 时，

ξ

趋向于

x

。

所以有 $\begin{matrix}\Phi^\prime(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Phi(x+ \Delta x)-\Phi(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} f(\xi) = f(x)\end{matrix}$ 。

这也可以看作是微积分基本定理另一个表达形式。

许多看似很“简单”的函数的原函数是无法用初等函数（多项式、三角函数、反三角函数、指数函数、对数函数以及它们的不同组合）来表达的（但它们一样存在！），比如说如下几个不定积分：

$\begin{matrix}\int e^{-x^2}\,dx,\qquad \int \frac{\sin(x)}{x}\,dx,\qquad \int\frac{1}{\ln x}\,dx\end{matrix}$ 。

[编辑] 积分技巧

求初等函数的不定积分比求它们的导数要困难得多。如上面所看到的，有些初等函数的原函数无法用初等函数来表达。以下是求不定积分的一些技巧。

积分的线性性质使得我们可以把较为复杂的函数分成几个较为简单的函数的和来计算
换元积分法可以把被积函数转换成比较容易积分的形式，但对换元函数有一定要求。
分部积分法，用于函数乘积的积分。
对于实值分式函数的积分，可以先将函数展开成若干一次分式函数以及二次分式函数的幂的和，再进行积分。
Risch算法。
对于常见的不定积分，可以查看积分表
当函数的不定积分不能用初等函数表达时，可以采用其他办法计算函数的定积分，比如数值积分。

[编辑] 不连续函数的积分

微积分基本定理要求 $f$ 为连续函数，但是，对于不连续的函数，我们仍然可以考虑求不定积分。对于什么函数有原函数，现在仍存在着未解决的问题。如今已知的结论有：

一些很不“规则”的函数，尽管在“非常多”的点上并不连续，但仍有原函数。
在某些情况下，一些不“规则”的函数的不定积分可以通过黎曼积分求得。当然更多的不“规则”的函数不是黎曼可积的。

[编辑] 不定积分公式表

(1) $\begin{matrix} \int a\,dx = ax + C\end{matrix}$ ,其中 $C$ 为常数;

(2) $\begin{matrix} \int x^{a}\,dx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} + C\end{matrix}$ ,其中 $a$ 是常数, $a \ne -1$ ;

(3) $\begin{matrix} \int \frac{1}{x}\,dx = \ln \left|x\right| + C\end{matrix}$ ;

(4) $\begin{matrix} \int a^{x}\,dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + C\end{matrix}$ ,其中 $a > 0$ ,且 $a \ne 1$ ;

(5) $\begin{matrix} \int \sin x\,dx = -\cos x + C\end{matrix}$ ;

(6) $\begin{matrix} \int \cos x\,dx = \sin x + C\end{matrix}$ ;

(7) $\begin{matrix} \int \tan x\,dx = -\ln \left|\cos x\right| + C\end{matrix}$

(8) $\begin{matrix} \int \cot x\,dx = \ln \left|\sin x\right| + C\end{matrix}$

(9) $\begin{matrix} \int \sec x\,dx = {\rm Re} \;Ar\,th\ \;tan \frac{x}{2} + C = \ln \left|\sec x + \tan x\right| + C = \frac{1}{2} \ln \left|\frac{1+\sin x}{1-\sin x} \right| + C \end{matrix}$

(10) $\begin{matrix} \int \csc x\,dx = {\rm Re} \;Ln\;tan \frac{x}{2} + C = \ln \left|\csc x - \cot x\right| + C = \frac{1}{2} \ln \left|\frac{1-\cos x}{1+\cos x} \right| + C \end{matrix}$