不连续点

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微积分学
\text{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
函数 · 导数 · 微分 · 积分

不连续点又称间断点,是指:在非连续函数y=f(x)中某点处xo处有中断现象,那么,xo就称为函数的不连续点。

分类[编辑]

根据不同不连续点的性质,通常把不连续点分为两类:

  1. 第一类不连续点:
    1. 跳跃不连续点:不连续点两侧函数的极限存在,但不相等
    2. 可去不连续点:不连续点两侧函数的极限存在且相等。
  2. 第二类不连续点:
不属于第一类不连续点的任何一种不连续点都属于第二类不连续点。

例子[编辑]

可去不连续点

1. 考虑以下函数:

f(x)=\begin{cases}x^2 & \mbox{ for } x< 1 \\ 0 & \mbox { for } x=1 \\ 2-x&  \mbox{ for }  x>1\end{cases}

x_0=1是可去不连续点。

跳跃不连续点

2. 考虑以下函数:

f(x)=\begin{cases}x^2 & \mbox{ for } x< 1 \\ 0 & \mbox { for } x=1 \\ 2-(x-1)^2& \mbox{ for } x>1\end{cases}

x_0=1是跳跃不连续点。

第二类不连续点

3. 考虑以下函数:

f(x)=\begin{cases}\sin\frac{5}{x-1} & \mbox{ for } x< 1 \\ 0 & \mbox { for } x=1 \\ \frac{0.1}{x-1}& \mbox{ for } x>1\end{cases}

x_0=1是第二类不连续点,又称本性不连续点。

外部链接[编辑]