方向导数

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微积分学

$\text{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

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方向導數（Directional derivative）是一个多变量可微函数上的任意一點沿着某一向量方向的瞬时变化率。方向導數是偏导数的概念的推广，也是加托导数的一个特例。

定义

标量函数$f(\vec{x}) = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$沿着向量$\vec{v} = (v_1, \ldots, v_n)$的方向导数定义为：

$\nabla_{\vec{v}}{f}(\vec{x}) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\vec{x} + h\vec{v}) - f(\vec{x})}{h}}.$

如果函数$f$在$\vec{x}$是可微的，则沿着任何向量$\vec{v},$都有方向导数，我们有：

$\nabla_{\vec{u}}{f}(\vec{x}) = \nabla f(\vec{x}) \cdot \vec{u}$

注意：向量u为v所对应的单位向量，即同方向，但长度为1.

其中右面的$\nabla$表示梯度，$\cdot$是欧几里德内积。在任何点$\vec{x}$，$f$的方向导数描述了$f$在点$\vec{x}$沿着$\vec{v}$的变化率。

性质

许多导数的常见性质都适用于方向导数。例如，对于任何在p的邻域内有定义且在点p可微的函数，都有：

• 加法定则：$\nabla_v (f + g) = \nabla_v f + \nabla_v g$
• 常数因子法则：对于任何常数c，$\nabla_v (cf) = c\nabla_v f$
• 乘法定则（或莱布尼兹法则）：$\nabla_v (fg) = g\nabla_v f + f\nabla_v g$
• 复合函数求导法则：如果g在点p可微，h在g(p)可微，则

$\nabla_v h\circ g (p) = h'(g(p)) \nabla_v g (p)$

在微分几何中

设M是一个可微流形，p是M上的一个点。假设f是在p的邻域内有定义且在点p可微的函数。如果v是M在点p的一个切向量，则f沿着v方向的方向导数可以定义如下。设γ : [-1,1] → M是一个可微曲线，γ(0) = p，且γ^′(0) = v。则方向导数定义为：

$\nabla_v f(p) = \left.\frac{d}{d\tau} f\circ\gamma(\tau)\right|_{\tau=0}$

法向导数

法向导数是沿着某个空间曲面的法线方向的方向导数，或者更一般地，沿着某个超曲面的法向量的导数。参见诺伊曼边界条件。如果法线方向记为$\vec{n}$，则函数ƒ的方向导数有时记为$\frac{ \partial f}{\partial n}$。

参见

• 梯度
• 李导数
• 微分形式
• 结构张量

参考文献

• Kaplan, W. "The Directional Derivative." §2.14 in Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 135-138, 1991.
• Morse, P. M. and Feshbach, H. "Directional Derivatives." In Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 32-33, 1953.