方向导数

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微积分学
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函数 · 导数 · 微分 · 积分

方向導數分析学特别是多元微积分中的概念。一个标量场在某点沿着某个向量方向上的方向导数,描绘了该点附近标量场沿着该向量方向变动时的瞬时变化率[1]。方向導數是偏导数的概念的推广,也是加托导数的一个特例。

定义[编辑]

设有拓扑向量空间Vf是从V上某个开集U射到实数域\mathbb{R}的一个函数。对U内某点\bold{x} \in U,以及某个非零向量\bold{a},若从\mathbb{R}射到\mathbb{R}的函数:

f_{\bold{a}} \; : \; \; t \; \mapsto \; f( \bold{x} + t\bold{a} )

在零附近连续,而且f_{\bold{a}}t的导数在t=0处存在,那么可以定义f\bold{x}处沿向量\bold{a}的方向导数为:

\mathrm{D}_{\bold{a}}{f}(\bold{x}) = \left. \frac{\mathrm{d} f_{\bold{a}} }{\mathrm{d} t}\right|_{t=0} = \lim_{t \rightarrow 0}{\frac{f(\bold{x} + t\bold{a}) - f(\bold{x})}{t}}.[2]:35

有些书籍中会较为严格地定义方向导数为函数在某一点沿单位长度向量的方向导数,在这样的上下文中,“函数在某点沿向量\bold{a}方向上的导数”指的是函数在这一点沿着\bold{a}对应的单位向量\bold{\hat{a}} = \frac{\bold{a}}{\| \bold{a} \|}的方向导数。

当向量空间 V欧几里德空间\mathbb{R}^n时,从 \mathbb{R}^n 射到\mathbb{R}的標量函數 f在點\bold{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)沿向量\bold{a} = (a_1, \ldots, a_n)的方向導數定義為:

\mathrm{D}_{\bold{a}}{f}(\bold{x}) = \lim_{t \rightarrow 0}{\frac{f(\bold{x} + t\bold{a}) - f(\bold{x})}{t}}.

性质[编辑]

许多导数的常见性质都适用于方向导数。例如,对于任何在p邻域内有定义且在点p可微的函数,都有:

\mathrm{D}_v h\circ g (p) = h'(g(p)) \mathrm{D}_v g (p)

如果函數f在點\bold{x}可微,則沿著任意非零向量\bold{v}的方向導數都存在。对赋范向量空间内积空间有:

\mathrm{D}_{\bold{v}}{f}(\bold{x}) = \mathrm{D} f_{\bold{x}}(\bold{v}) = \bold{v} \cdot\nabla f(\bold{x}),

其中\mathrm{D} f_{\bold{x}} 是函数 f\bold{x} 微分,為一線性映射\nabla 符號表示梯度算子,而“\cdot”表示V中相应的内积

如果函数在某一点可微,则其在这一点上沿任何向量的方向导数都存在。但反之则不然。即便一个函数在某一点上沿任何向量的方向导数都存在,它也有可能在这一点上不可微,甚至不连续。

最大方向导数[编辑]

如果一个标量场在某点沿任意方向的方向导数都存在,则其中必有最大的一个。由柯西不等式可知,方向导数的最大值等于其梯度的范数,当且仅当沿着其梯度的方向时取到。这也说明标量场某点梯度的方向是函数瞬时变化率最大的方向[2]:36

在微分几何中[编辑]

M是一个可微流形xM上的一个点。假设f是在P邻域内有定义且在点x可微的函数。如果vM在点x的一个切向量,则f沿着v方向的方向导数可以定义如下。设γ : [-1,1] → M是一个可微曲线,γ(0) = x,且γ(0) = v。则方向导数定义为:

\nabla_v f(x) = \left.\frac{d}{d\tau} f\circ\gamma(\tau)\right|_{\tau=0}

法向导数[编辑]

法向导数是沿着某个空间曲面的法线方向的方向导数,或者更一般地,沿着某个超曲面法向量的导数。参见诺伊曼边界条件。如果法线方向记为\vec{n},则函数ƒ的法向导数有时记为\frac{ \partial f}{\partial n}

参见[编辑]

注解[编辑]

  1. ^ Tom Apostol. Mathematical Analysis 2nd Ed. Addison-Wesley. 1974: 344–345. ISBN 0-201-00288-4. 
  2. ^ 2.0 2.1 Rodney Coleman. Calculus on Normed Vector Spaces. Springer. 2012. ISBN 9781461438946. 

参考文献[编辑]

  • Kaplan, W. "The Directional Derivative." §2.14 in Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 135-138, 1991.
  • Morse, P. M. and Feshbach, H. "Directional Derivatives." In Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 32-33, 1953.