上极限和下极限

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上极限和下极限的示意图。序列 xn 绘为蓝色。两个红色曲线逼近 xn 的上极限和下极限,绘为红色虚线。

数学上,序列上极限下极限可以看为序列的极限上下界。函数的上极限和下极限可以用类似方式考虑。(参见函数的极限)。集合的上极限和下极限分别是这个集合的极限点上确界下确界

定义[编辑]

序列(x_n)的上极限定义是

\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n=\inf_{n\geq 0}\,\sup_{k\geq n}x_k=\inf\{\,\sup\{\,x_k:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}

或者

\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sup_{m\geq n}x_m\right)

同样的,序列x_n的下极限定义是

\liminf_{n\rightarrow\infty}x_n=\sup_{n\geq 0}\,\inf_{k\geq n}x_k=\sup\{\,\inf\{\,x_k:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}

或者

\liminf_{n\rightarrow\infty}x_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\inf_{m\geq n}x_m\right)

这些定义在任意的偏序集都适用,只需要上确界下确界存在。 在完全格裡,上确界和下确界总是存在,所以其中的序列一定有上极限和下极限。

每当\liminf x_n\limsup x_n都存在,那么

\liminf_{n\rightarrow\infty}x_n\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n

上极限和下极限也记为\varlimsup_{n\rightarrow\infty} x_n\varliminf_{n\rightarrow\infty} x_n

实数数列[编辑]

实数集R数列微积分很重要。R不是完全格,但可以加入正负无穷以得到完備全序集[-\infty,+\infty],正是完全格。那么在[-\infty,+\infty]中数列(x_n) 收敛当且仅当\liminf x_n = \limsup x_n,而这时\lim x_n等于上面的共同值。(注意当只是考虑R时,收敛至-\infty+\infty并不当作收敛,而是視作極限不存在。)

若實數數列(x_n)的上極限為實數(即不是\pm\infty),那麼上極限是最小的實數a,使得對任意小的正實數\epsilon,都存在足夠大的正整數N,使得對所有n\ge N,都有x_n < a + \epsilon。換言之,對任何大於上極限的實數,都存在N使得這實數是數列(x_n)_{n\ge N}上界

若實數數列(x_n)的下極限為實數,那麼下極限是最大的實數b,使得對任意小的正實數\epsilon,都存在足夠大的正整數N,使得對所有n\ge N,都有x_n > b - \epsilon。換言之,對任何小於下極限的實數,都存在N使得這實數是數列(x_n)_{n\ge N}下界

(x_n)是整數數列。若其上極限為實數a,由於\lfloor a\rfloor 也符合上述條件,故此a必是整數。(\lfloor a\rfloor 是不大於a的最大整數。)在條件中取\epsilon < 1,得出a是最小的實數,使得存在正整數N,對所有n\ge N,都有x_n \le a 。因此a是最大的整數,使得有無限個x_n = a 。同樣地,若其下極限為實數b,則b是最小的整數,使得有無限個x_n = b

I=\liminf x_nS=\limsup x_n ,那么区间[I,S]不一定包含任何的x_n,但是轻微扩大了的[I-ε,S+ε] 对任意小的ε > 0都会包含除了有限项外所有的xn。区间[I, S]是适合这个性质的最小闭区间。

例子[编辑]

  • x_n=(-1)^n(1+\frac 1 n),則\liminf x_n=-1\limsup x_n=1。閉區間[-1, 1]中不包含任何x_n
  • 考虑数列x_n=\sin \!n。应用π无理数性质,可以证明\liminf x_n = -1\limsup x_n = +1。(數列\{1,2,3,...\}取mod 2π後在[0, 2π]中是稠密的,故得出結果。由等分佈定理,更可知這數列在區間中是等分佈的。)
\liminf_{n\to\infty}(p_{n+1}-p_n)
其中\!{p_n}是第\!n素数
下极限的值的猜测为2——这是孪生素数猜想。然而這個下極限是否為有限,是數論中長久以來的未解問題。直到2013年,張益唐首次證明下極限的值有限,並且小於7千萬。[1]截至2014年9月,下極限的值的上界已降至246。[2]由整數數列的下極限性質可知,有無限多的正整數n,使得p_{n+1}-p_n不大於246。

集的序列[编辑]

集合X冪集P(X)是完全格。对于P(X)中的序列,也就是X的子集的序列,其上下极限也有用处。

X_n是这样的序列,那么X的元素a属于\liminf X_n,当且仅当存在自然数n_0使得对于所有n>n_0aX_n裡。元素a属于\limsup X_n,当且仅当对所有自然数n_0,都存在一个指数n>n_0使得aX_n裡。换句话说,\limsup X_n包含了所有这样的元素,其中的每一个,都有无限多个n,使得它在集合X_n裡;而\liminf X_n包含了所有这样的元素,其中的每一个,都有除了有限多个外的所有n,使得它在X_n裡。

以集合论的标准语言来说,一个集合序列的下确界是这些集合的可数交,也就是包含在所有集合裡的最大集合:

\inf\left\{\,X_m : m=1,2,3,\dots\,\right\}={\bigcap_{m=1}^\infty}X_m

I_n为自X_n起的集合的下确界。那么序列I_n非递减,因为I_n \sub I_{n+1}。所以,第1至n个下确界的并集就是第n个下确界。下极限就是这序列的极限:

\liminf_{n\rightarrow\infty}X_n={\bigcup_{n=1}^\infty}\left({\bigcap_{m=n}^\infty}X_m\right)

上极限可以相反方式定义。一个集合序列的上确界是包含这些集合的最小集合,也就是它们的可数并:

\sup\left\{\,X_m : m=1,2,3,\dots\,\right\}={\bigcup_{m=1}^\infty}X_m

上极限是这个非递增的上确界序列的可数交(其中每个上确界都包含在前一个裡面)。

\limsup_{n\rightarrow\infty}X_n={\bigcap_{n=1}^\infty}\left({\bigcup_{m=n}^\infty}X_m\right)

例子或应用可见波莱尔-坎泰利引理柯西-阿达马公式(Cauchy-Hadamard Formula)。

引用[编辑]

  • Amann, H.; Escher, Joachim. Analysis. Basel; Boston: Birkhäuser. 2005. ISBN 0817671536. 
  • González, Mario O. Classical complex analysis. New York: M. Dekker. 1991. ISBN 0824784154. 
  1. ^ Zhang, Yitang. Bounded gaps between primes. Annals of Mathematics. 2013-05-21 [2014-07-10] (英文). 
  2. ^ Bounded gaps between primes. Polymath wiki. [2014-09-24].