上极限和下极限

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上极限和下极限的示意图。序列 xn 绘为蓝色。两个红色曲线逼近 xn 的上极限和下极限,绘为红色虚线。

数学上,序列上极限下极限可以看为序列的极限上下界。函数的上极限和下极限可以用类似方式考虑。(参见函数的极限)。集合的上极限和下极限分别是这个集合的极限点上确界下确界

定义[编辑]

序列(x_n)的上极限定义是

\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n=\inf_{n\geq 0}\,\sup_{k\geq n}x_k=\inf\{\,\sup\{\,x_k:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}

或者

\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sup_{m\geq n}x_m\right)

同样的,序列x_n的下极限定义是

\liminf_{n\rightarrow\infty}x_n=\sup_{n\geq 0}\,\inf_{k\geq n}x_k=\sup\{\,\inf\{\,x_k:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}

或者

\liminf_{n\rightarrow\infty}x_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\inf_{m\geq n}x_m\right)

这些定义在任意的偏序集都适用,只需要上确界下确界存在。 在完全格裡,上确界和下确界总是存在,所以其中的序列一定有上极限和下极限。

每当\liminf x_n\limsup x_n都存在,那么

\liminf_{n\rightarrow\infty}x_n\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n

上极限和下极限也记为\varlimsup_{n\rightarrow\infty} x_n\varliminf_{n\rightarrow\infty} x_n

实数数列[编辑]

实数集R数列微积分很重要。R不是完全格,但可以加入正负无穷以得到全序集[-\infty,+\infty]

那么在[-\infty,+\infty]中数列(x_n) 收敛当且仅当\liminf x_n = \limsup x_n ,而这时\lim x_n等于上面的共同值。 (注意当只是考虑R时,收敛至-\infty+\infty并不当作收敛。)

作为例子,考虑数列x_n=\sin \!n。应用π无理数性质,可以证明\liminf x_n = -1\limsup x_n = +1

I=\liminf x_nS=\limsup x_n ,那么区间[I,S]不一定包含任何的x_n,但是轻微扩大了的[I-ε,S+ε] 对任意小的ε > 0都会包含除了有限项外所有的xn。区间[I, S]是适合这个性质的最小闭区间。

一个数论例子是

\liminf_{n\to\infty}(p_{n+1}-p_n)

其中\!{p_n}是第\!n素数。 下极限的值的猜测为2——这是孪生素数猜想張益唐首次證明下極限為有限,且證明下極限小於七千萬。[1]

集的序列[编辑]

集合X冪集P(X)是完全格。对于P(X)中的序列,也就是X的子集的序列,其上下极限也有用处。

X_n是这样的序列,那么X的元素a属于\liminf X_n,当且仅当存在自然数n_0使得对于所有n>n_0aX_n裡。元素a属于\limsup X_n,当且仅当对所有自然数n_0,都存在一个指数n>n_0使得aX_n裡。换句话说,\limsup X_n包含了所有这样的元素,其中的每一个,都有无限多个n,使得它在集合X_n裡;而\liminf X_n包含了所有这样的元素,其中的每一个,都有除了有限多个外的所有n,使得它在X_n裡。

以集合论的标准语言来说,一个集合序列的下确界是这些集合的可数交,也就是包含在所有集合裡的最大集合:

\inf\left\{\,X_m : m=1,2,3,\dots\,\right\}={\bigcap_{m=1}^\infty}X_m

I_n为自X_n起的集合的下确界。那么序列I_n非递减,因为I_n \sub I_{n+1}。所以,第1至n个下确界的并集就是第n个下确界。下极限就是这序列的极限:

\liminf_{n\rightarrow\infty}X_n={\bigcup_{n=1}^\infty}\left({\bigcap_{m=n}^\infty}X_m\right)

上极限可以相反方式定义。一个集合序列的上确界是包含这些集合的最小集合,也就是它们的可数并:

\sup\left\{\,X_m : m=1,2,3,\dots\,\right\}={\bigcup_{m=1}^\infty}X_m

上极限是这个非递增的上确界序列的可数交(其中每个上确界都包含在前一个裡面)。

\limsup_{n\rightarrow\infty}X_n={\bigcap_{n=1}^\infty}\left({\bigcup_{m=n}^\infty}X_m\right)

例子或应用可见波莱尔-坎泰利引理柯西-阿达马公式(Cauchy-Hadamard Formula)。

引用[编辑]

  • Amann, H.; Escher, Joachim. Analysis. Basel; Boston: Birkhäuser. 2005. ISBN 0817671536. 
  • González, Mario O. Classical complex analysis. New York: M. Dekker. 1991. ISBN 0824784154. 
  1. ^ Zhang, Yitang. Bounded gaps between primes. Annals of Mathematics. Princeton University. [2014-01-28].