微积分学

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微积分学
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函数 · 导数 · 微分 · 积分

微積分學Calculus拉丁语意为用来计数的小石头) 是研究極限微分學積分學无穷级数的一个數學分支,并成为了现代大学教育的重要组成部分。历史上,微积分曾经指无穷小的计算。更本质的讲,微积分学是一门研究变化的科学,正如几何学是研究形状的科学,代数学是研究代数运算和解方程的科学一样。

微积分学在科学经济学工程学领域有广泛的应用,用來解决那些仅依靠代数学不能有效解决的问题。微积分学在代数学三角学解析几何学的基础上建立起来,并包括微分学积分学两大分支。微分學包括求導數的運算,是一套關於變化率的理論。它使得函數速度加速度曲線斜率等均可用一套通用的符號進行演绎。積分學,包括求積分的運算,為定義和計算面積體積等提供一套通用的方法。微積分學基本定理指出,微分和積分互為逆運算,這也是兩種理論被統一成微積分學的原因。我們可以以兩者中任意一者為起點來討論微積分學,但是在教學中一般會先引入微分學。在更深的数学领域中,微积分学通常被称为分析学,并被定义为研究函数的科学。

歷史[编辑]

艾萨克·牛顿戈特弗里德·萊布尼茨
兩位獨立確立微积分體系的數學家:
艾萨克·牛顿爵士(左)與戈特弗里德·萊布尼茨(右)

古代[编辑]

古代数学的思想更倾向于积分,但是并不严格、系统。积分的其中一个任务,即计算体积和面积,可以从埃及莫斯克紙莎草手卷中找到(c. 1820 BC),它的公式也十分简单,没有写明方法,主要成分也残缺不齐。[1]積分的起源很早,古希臘時期欧多克索斯 (c. 408-355 BC)就用窮盡的方法來求特殊圖形面積的研究。阿基米德(c. 287-212 BC) 用內接正多邊形的周長來窮盡圓周長,而求得圓周率的近似值;也用一連串的三角形來填充拋物線的圖形,以求得其面積。這些都是窮盡法的古典例子。[2]中国的刘徽在公元三世纪左右也应用穷尽法求圆的面积。[3]在公元五世纪左右,祖冲之得出了计算球体积的算法,它也被称之为卡瓦列里公式[4]

现代[编辑]

發展現代微積分理論的一個動力是為了解決「切線問題」,另一個是「面積問題」。

文藝復興之後,基於實際的需要及理論的探討,積分技巧有了進一步的發展。譬如為了航海的方便,傑拉杜斯·麥卡托發明了所謂的麥卡托投影法,使得地圖上的直線就是航海時保持定向的斜駛線。在欧洲,基础性的论证来自博納文圖拉·卡瓦列里,他认为体积和面积应该用求无穷小横截面的总量来计算。他的想法类似于阿基米德的《方法论》,但是卡瓦列里的手稿丢失了,直到20世纪初期再被找到。卡瓦列里的努力没有得到认可,因为他的方法的误差巨大,而且在当时无穷小也不受重视。

17世紀的前半是微積分學的醞釀時期,觀念在摸索中,計算是個別的,應用也是個別的。而後戈特弗里德·威廉·萊布尼茨艾薩克·牛頓兩人幾乎同時使微積分觀念成熟,澄清微、積分之間的關係,使計算系統化,並且把微積分大規模使用到幾何與物理研究上。

在他們創立微積分以前,人們把微分積分視為獨立的學科,之後才確實劃分出“微積分學”這門學科。

在对微积分的正式研究中,皮埃爾·德·費馬声称他借用了丢番图的成就,引入了“足量”概念,等同于误差的无穷小。可惜他未能體會兩者之間的密切關係。[5] 約翰·沃利斯伊薩克·巴羅和詹姆士·格里高利完成了组合论证。而牛頓的老師伊薩克·巴羅雖然知道兩者之間有互逆的關係,但他不能體會此種關係的意義,其原因之一就是求導數還沒有一套有系統的計算方法。古希臘平面幾何的成功給予西方數學非常深遠的影響:一般認為唯有幾何的論證方法才是嚴謹、真正的數學,代數不過是輔助的工具而已。直到笛卡兒費馬倡導以代數的方法研究幾何的問題,這種態度才漸有轉變。可是一方面幾何思維方式深植人心,而另一方面代數方法仍然未臻成熟,實數系統遲遲未能建立,所以許多數學家仍然固守幾何陣營而不能發展出有效的計算方法,巴羅便是其中之一。牛頓雖然放弃了他老師的純幾何觀點而發展出了有效的微分方法,可是他遲遲未敢發表。牛顿利用了微積分的技巧,由萬有引力及運動定律出發說明了他的宇宙體系,解决天体运动,流体旋转的表面,地球的扁率,摆线上重物的运动等问题。牛顿在解决数学物理问题时,使用了独特的符号来进行计算,实际上这些就是乘积法则链式法则、高阶导数、泰勒级数和解析方程。[6]但因害怕當時人的批評,所以在他1687年的巨著《自然哲学的数学原理》中仍把微積分的痕跡抹去,而以古典的幾何論證方式論述。在其它著作中,牛顿使用了分数和无理数的乘幂,很明显,牛顿知道泰勒级数的定律。但是他没有发表这些发现,因为无穷小在当时仍然饱受争议。

上述思想被戈特弗里德·威廉·萊布尼茨整合成为真正的无穷小版本的微积分,而牛顿指责前者抄袭。[7]莱布尼茨在今天被认为是独立发明微积分的另一人。他的贡献在于风格严密,便于计算二次或更高级别的导数,以微分和积分的形式给出乘积法则链式法则。与牛顿不同,莱布尼茨很注重形式,常常日复一日地研究妥当的符号。

莱布尼茨和牛顿都被认为是独立的微积分发明者。牛顿最先将微积分应用到普通物理当中,而莱布尼茨制作了今天绝大多数的符号。牛顿、莱布尼茨都给出了微分、积分的基本方法,二阶或更高阶导数,数列近似值符号等。在牛顿的时代,微积分基本公式已经被世界知晓。

当牛顿和莱布尼茨第一次发表各自的成果时,数学界就发明微积分的归属和优先权问题爆发一场旷日持久的大争论。牛顿最先得出结论,而莱布尼茨最先将其发表。牛顿称莱布尼茨从他未发表的手稿中抄袭,这个观点得到了牛顿所在的皇家學會支持。这场大纷争将使数学家分成两派:一派是英国数学家,捍卫牛顿;另一派是欧洲大陆数学家。结果是对英国数学家不利。日后的小心求证得出牛顿和莱布尼茨两人独立得出自己的结论。莱布尼茨从积分推导,牛顿从微分推导。在今天,牛顿和莱布尼茨被誉为发明微积分的两个独立作者。“微積分”之名與其使用之運算符號則是萊布尼茨所創。而牛顿将它称为“流数术”

微積分實際被許多人不斷地完善,也離不開巴羅、笛卡兒、費馬、惠更斯沃利斯的貢獻。最早的一部完整的有关有限和无穷小的分析著作被瑪利亞·阿涅西于1748年总结编订。[8]

牛頓和萊布尼茨雖然把微積分系統化,但是它還是不夠嚴謹。可是當微積分被成功地用來解決許多問題,卻使得十八世紀的數學家偏向其應用,而少致力於其嚴謹。當時,微積分學的發展幸而掌握在幾個非常優越的數學家,如歐拉拉格朗日拉普拉斯达朗贝尔伯努利世家等人的手裡。研究的問題由自然現象而來,所以能以自然現象的數據來驗合微積分的許多推論,使微積分學不因基礎不穩而隱含錯誤。在這些眾數學家的手中,微積分學的範圍很快地超過現在大學初階段所授的微積分課程,而邁向更高深的解析學

基础[编辑]

在微积分中,“基础”意味将一个科目从公理和定义中严格地推导出来。早期微积分所使用的无穷小被认为是不严谨的,遭到了一系列作者的严厉批评,特别是米歇尔·罗尔乔治·贝克莱主教。贝克莱因在他1734年出版的《论分析》中将无穷小描述为“偏激的妖怪数量”而著名。最近的分析认为莱布尼茨版微积分更加严密,经得住贝克莱的经验主义的攻击。[9] 为微积分的严密论证奠基成为数学家们在牛顿、莱布尼茨之后几世纪的重要工作,直至今日仍是研究的热点领域。

一些数学家,包括科林·麦克劳林,试图利用无穷小来进行证明,但直到150多年之后才得以成功。在奧古斯丁·路易·柯西卡尔·魏尔斯特拉斯的努力之下,终于实现对无穷小的符号的回避。微分和积分的基础终于被打下了。在柯西的著作中,我们看到了大量的基础论证,包括通过连续来对无穷小进行定义,和用以定义微分的一个不太精确的(ε, δ)-极限定义版本。魏尔斯特拉斯推导总结了极限概念,回避了无穷小。继魏尔斯特拉斯之后,微积分就常以极限作为基础,而非无穷小了。波恩哈德·黎曼使用这些概念来对积分进行严格定义。在这一时期,微积分这一概念被综合成为欧几里得空间复平面

在现代数学里,微积分基础包括了实变函数论,后者包括了对微积分理论的完全数学证明。微积分的范围被大大拓宽了。昂利·勒貝格发明了测度,用它来定义所有积分。洛朗·施瓦茨研究了数学分布 (数学分析),可以用其求得任意方程的导数。

极限不是对微积分基础的唯一推导,如使用亚伯拉罕·罗宾逊非标准分析进行推导。罗宾逊在1960年左右所做的推导袭承了牛顿——莱布尼茨的最初概念,应用数理逻辑的方式将实数系统扩大到了无穷小和无限数量。所得出的结果为超实数,可以套用莱布尼茨式的微积分法则。

重要性[编辑]

早期的微积分概念来自于埃及希腊中国印度伊拉克波斯日本,但现代微积分来自于欧洲。17世纪时,艾萨克·牛顿戈特弗里德·萊布尼茨在前人的基础上推导出微积分的基本理论。微积分基本概念的产生是建立在求瞬间运动和曲线下面积这两个问题之上的。

微分应用包括极端速度加速度、曲线斜率最优化等。积分应用包括面积体积弧长质心做功压力。更高级的应用包括幂级数傅里叶级数等。

微积分为更加精确地理解空间、时间和运动的本质提供了便利。几个世纪以来,数学家和哲学家都为除以零或无限这一悖论而大为苦恼。这些问题在研究运动面积时常常出现。古希腊哲学家埃利亚的芝诺为该悖论举出了几个著名的例子。微积分,特别是极限和无穷级数,为解决该悖论提供了工具。

主要概念[编辑]

微積分主要有三大類分支:極限、微分學、積分學。微積分的基本理論表明了微分和積分是互逆運算,牛頓和萊布尼茨發現了這個定理以後才引起了其他學者對於微積分學的狂熱的研究,而這個發現也使得我們在微分和積分之間可以互相轉換。這個基本理論也提供了一個用代數計算許多積分問題的方法,也就是用不定積分法取代極限運算法。該理論也可以解決一些微分方程的問題,解決未知數的積分。微分問題在科學領域無處不在。

微積分的基本概念還包括函數無窮序列無窮級數連續等,運算方法主要有符號運算技巧,該技巧與初等代數和數學歸納法緊密相連。

微積分被延伸到微分方程向量分析變分法複分析時域微分微分拓撲等領域。微積分的現代版本是實分析

極限和无穷小[编辑]

微積分中最重要的概念是「極限」。微商(即導數)是一種極限。定積分也是一種極限。

從牛頓實際使用它到制定出周密的定義,數學家們奮鬥了200多年。現在使用的定義是魏尔斯特拉斯於19世紀中葉給出的。

數列極限就是當一個有順序的數列往前延伸時,如果存在一個有限數(非無限大的數),使這個數列可以無限地接近這個數,這個數就是這個數列的極限。

數列極限的表示方法是:

\lim_{n \to \infty}x_n = L

其中L就是極限的值。例如當 x_n = {1 \over 2n} 時,它的極限為L=0。就是說n越大(越往前延伸),這個值越趨近於0

微积分是在做一些较小数的计算时发展形成的。历史上,一开始是用无穷小量来做。无穷小量可以被看作是一个数,但是从某种意义上来说,它“无穷小”。一个无穷小数\mathrm{d}x能够比0都大,但是小于数列1\frac{1}{2}\frac{1}{3},⋯⋯任一个数,以及小于任何正实数。任何整数倍数的无穷小还是无穷小,换句话说,无穷小不满足阿基米德性质。从这一点来看,微积分是一组处理无穷小的方法,这种方法失宠于19世纪,因为无穷小的概念不够精确。但是,这个概念在20世纪由于非标准分析以及光滑无穷小分析的引进被重新提及,非标准分析为无穷小的操作提供了坚实的基础。在19世纪,无穷小被极限取代,极限描述的是与函数在某一点附近的值有关的值。它们描述了函数在某处附近的行为,类似无穷小,但是使用了普通的实数系统。在这种理论下,微积分是一组处理极限的方法。无穷小被很小的数代替,函数无穷小附近的行为是通过取距离越来越小时的极限来找到的。极限是提供微积分严格的基础最简单的方式,基于这个原因,它们是标准的做法。

導數[编辑]

運動學中,平均速度等於通過的距離除以所花費的時間——在一小段間隔的時間內,除上其走過的一小段距離,等於這一小段時間內的速度,但是當這一小段間隔的時間趨於零,也就是瞬時速度時,則無法按照通常的除法計算,這時的速度為時間的導數,得用求導的方法計算。也就是說,一個函數的自變量趨近某一極限時,其因變量的增量與自變量的增量之商的極限即為導數。在速度問題上,距離是時間的因變量,隨時間變化而變化;當時間趨於某一極限時,距離增量除以時間增量的極限即為距離對時間的導數。

導數的幾何意義是該函數曲線在這一點上的切線斜率

微分學[编辑]

在点(x, f(x))处的切线。在曲线上一点的导数f'(x)是在该点与曲线相切直线的斜率。

微分學主要研究的是在函數自變量變化時如何確定函數值的瞬時變化率(導數或微商)。換言之,計算導數的方法就叫微分學。微分學的另一個計算方法是牛頓法,該算法又叫應用幾何法,主要通過函數曲線的切線來尋找點斜率。費馬常被稱作「微分學的鼻祖」。

微分学研究的是一个函数的导数的定义,性质和应用。求导的过程被称为微分。给定一个函数和定义域内的一个点,在那个点的导数描述了该函数在那一点附近的表现。通过找出一个函数定义域内每一点的导数,可以生成一个新的函数,叫做原函数的导函数,或者导数。在数学术语中,导数是输入一个函数,输出另一个函数的线性算子。这比初等代数里的过程更抽象一些,初等代数里的函数常常是输入一个数,并输出另一个数。例如,如果在倍增函数中输入3,则输出6,和如果在平方函数中输入3,则输出9。但是,微分能把平方函数作为输入,这意味着微分利用平方函数的所有信息去产生另一个函数(生成的函数是倍增函数)。导数的最常见的符号是一个类似撇号的符号,叫作“撇”。从而函数f的导数是f',读作“f一撇”。例如,如果f(x)=x^2是平方函数,那么它的导数f'(x)=2x是倍增函数。如果函数的输入量代表时间,那么导数就代表关于时间的变化。例如,如果f是输入时间,输出那个时间的球的位置的函数,则f的导数就是位置随着时间怎样变化,这就是球的速度。如果一个函数是线性的(也就是说,如果函数的图像是一条直线),那么这个函数可以写成y=mx+bx是自变量,y是因变量,by的纵截距,且

m = \frac{\Delta y}{\Delta x}.

这个公式给了一条直线的斜率的一个准确值。如果这个函数的图像不是一条直线,那么在y上的变化量除以在x上的变化量随x改变。导数给出了输出量关于输入量的变化率这一概念一个确切的含义。具体来说,设f是一个函数,并在它的定义域内取一个点a(a,f(a))是这个函数图像中的一个点。假设h是一个接近于0的数,这时a+h是一个接近于a的数。所以(a+h,f(a+h))是节点于(a,f(a))的。这两点间的斜率是

m = \frac{f(a+h) - f(a)}{(a+h) - a} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

这个表达式称为差商。通过曲线上的两个点的一条线称为割线,所以m(a,f(a))(a+h,f(a+h))间割线的斜率。割线仅仅是函数在a点行为的一个近似,因为它不能解释函数在aa+h之间的情况。通过设定h0来发现函数在a处的行为是不可能的,因为这需要除以0,而除以0也是不可能的。导数定义为h趋向于0时差商的极限,就是说用h可取的所有可能小的值来研究f的行为,并取一个合适的值作为当h等于0时差商的值。

\lim_{h \to 0}{f(a+h) - f(a)\over{h}}.

几何上,导数是函数fa点处切线的斜率。切线是割线的极限,正如导数是差商的极限。因此,导数有时也被称为f的斜率。这里有一个具体的例子,就是求一个平方函数在x等于3处的导数。令这个平方函数为f(x)=x^2:

曲线一点的导数f'(x)是在该点与曲线相切直线的斜率。斜率是通过求割线斜率的极限得出的。这里红色的方程是f(x)=x^3-x。切线方程为绿色,经过点(-\frac{3}{2},-\frac{1}{8}),斜率\frac{23}{4}。注意图中纵横尺度不等
\begin{align}f'(3) &=\lim_{h \to 0}{(3+h)^2 - 3^2\over{h}} \\
&=\lim_{h \to 0}{9 + 6h + h^2 - 9\over{h}} \\
&=\lim_{h \to 0}{6h + h^2\over{h}} \\
&=\lim_{h \to 0} (6 + h) \\
&= 6.
\end{align}

平方函数在点(3,9)处的切线斜率是6,也就是说,它是朝上走的速度是朝右走的速度的6倍。若平方函数的定义域中的任一点都存在刚才所描述的极限,那么我们就把它定义为平方函数的导函数,也简称为平方函数的导数。以上的一个相似计算表明平方函数的导数是倍增函数。

莱布尼茨记号[编辑]

一个由莱布尼茨引进的常用导数记号,以上面为例,是:


\begin{align}
y&=x^2 \\
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=2x.
\end{align}

在以极限为基础的理论里,记号\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}并不理解成两个数的商,而是上面计算的极限的简记。然而,莱布尼茨打算将它表示成两个无穷小数的商,x的一个无穷小变化量\mathrm{d}x引起了一个无穷小的变化量\mathrm{d}y。我们也可以把\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}看作一个微分算子,它以一个函数为输入,以这个函数的导函数作为输出。例如:


\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^2)=2x.

在这个用法中,分母中的\mathrm{d}x读作“关于x”。即使微积分理论是用极限的概念,而不是用无穷小的概念发展成的,但是我们常常把\mathrm{d}x\mathrm{d}y这类记号当作无穷小的数来操作。尽管可以避免这样的操作,但是有时候它们在符号上可以方便地表达全导数这类操作。

積分學[编辑]

積分學是微分學的逆運算,即從導數推算出原函數,又分為定積分與不定積分。一個一元函數的定積分可以定義為無窮多小矩形的面積和,約等於函數曲線下包含的實際面積。因此,我們可以用積分來計算平面上一條曲線所包含的面積、球體圓錐體的表面積或體積等。从技术上来讲,积分学是研究线性算子之间的关系。

不定积分是导数的逆运算,即反导数。当fF的导数时,Ff的不定积分。(这种在公式中使用大小写字母以区分微分积分在数学中很常见。)

定积分输入公式,得出数字,即给出图像与横坐标之间面积的代数解。对定积分的技术定义是矩形总面积的极限,又称黎曼积分

举例:在给定时间内行径的路程:

路程 = 速度 × 时间

如果速度是一定的,那么上述参数简单相乘既可得出结果。但如果速度为变量,那么就不得不使用更强大的公式。其中的一个方式是将行径路程根据时间近似地划分成许多小部分,将每个间距中的时间乘以当时的速度,最后将每个间距所行径的近似路程累计为黎曼和。最基本的概念是,如果时长间隔很短,那么速度会近似不变。然而,黎曼和只给出行径路程的近似值。我们必须求得黎曼积分的极限,来得出精确的值。

积分可以被视为在两点之间(这里是ab之间)求得曲线下的面积,定义为\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x

如果左图中的f(x)代表根据时间而改变的速度,那么a时间点与b时间点之间的路程就可以用阴影区域s来表达。

要求得区域面积的近似值,直观的办法就是将ab两点之间的路程分割为等长线段,每个线段的长度用符号\Delta x来标记。对于每个小线段,我们在方程上找到对应值f(x),记为h。如此,以\Delta x为底、h为高的矩形面积(时间\Delta x乘以速度h) ,就是通过该线段的路程。和每个线段相关联的是线段上方程的平均值f(x)=h。所有矩形的总和就是数轴与曲线之间面积的近似值,即总行径路程的近似值。\Delta x的值越小,矩形数量就越多,近似值也就越精确。而如果我们要求得精确值,就必须寻找\Delta x的极限,令其数值逼近零。

积分的符号是\int \,,好像一个拉长的SS意味"求和")。定积分被记为如下:

\int_a^b f(x)\, \mathrm{d}x.

f(x)ab的定积分。莱布尼茨的符号\mathrm{d}x意在表述将曲线下的面积分割为无穷多的矩形,以至于他们的宽\Delta x变成无穷小的\mathrm{d}x。建立在极限上的微积分,符号

\int_a^b \ldots\, \mathrm{d}x

应被理解为输入方程公式,输出数字面积。终端微分\mathrm{d}x不是数字,也不是与方程f(x)相乘,而是作为\Delta x余留的极限定义,可被视为积分运算的符号。从形式上来讲,微分代表了被积分方程的变量,并作为积分运算的尾括弧。

不定积分,或反导数,被记作:

\int f(x)\, \mathrm{d}x.

常数不同,导数相同的方程,可是说明一个方程的反导数实际上是一组常数不同的方程组。C是常数的方程y=x^2+C求导,得方程y'=2x;后者的反导数可被写为:

\int 2x\, \mathrm{d}x = x^2 + C.

反导数中的未知常数C被称为积分常数.

微积分基本公式[编辑]

微积分基本公式(Fundamental Theorem of Calculus)又称微积分基本定理、牛顿-莱布尼茨公式,证实微分和积分互为逆运算。更精确地说,它将一个反导数的具体值与定积分联系起来。因为计算反导数通常比应用定积分定义更加简单,微积分基本公式为计算定积分提供了一个行之有效的方式。它也可以被理解为微分是积分逆运算的精确解释。

微积分基本公式:如果方程f在[a, b ]区间是连续的,方程F在区间(a, b)的导数是f,那么,

\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a).

更进一步,对于在区间(a, b)的每个x都有,

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_a^x f(t)\, \mathrm{d}t = f(x).

根据前辈伊薩克·巴羅的成果,艾萨克·牛顿爵士和戈特弗里德·威廉·萊布尼茨发现了这一规律。这也成为他们日后数学分析硕果的重要基石。基本公式为计算定积分提供了简单的计算反导数的代数方法,而无须使用极限来穷尽。它也是解微分方程的雏形。微分方程可以给出任意方程的导数,成为科学的必备工具。

微積分的符號[编辑]

微分學中的符號「\textrm{d}x」、「\textrm{d}y」等,係由萊布尼茨首先使用。其中的\textrm{d}源自拉丁语中「差」(Differentia)的第一個字母。積分符號「\int_{}\,」亦由萊布尼茨所創,它是拉丁语「總和」(Summa)的第一個字母s的伸長(和Σ有相同的意義)。

微積分學的應用[编辑]

鹦鹉螺对数螺线是微积分增长变幻的经典图像

微積分學的發展與應用幾乎影響了現代生活的所有領域。它與大部分科學分支關係密切,包括精算、计算机、统计、工程、商业、医药、人口统计,特別是物理學;經濟學亦經常會用到微積分學。幾乎所有現代技術,如建築航空等都以微積分學作為基本數學工具。微积分使得数学可以在变量和常量之间互相转化,让我们可以已知一种方式时推导出来另一种方式。

物理学大量应用微积分;所有经典力学电磁学都与微积分有密切联系。已知密度的物体质量,动摩擦力,保守力场的总能量都可用微积分来计算.例如,将微积分应用到牛顿第二定律中:史料一般将导数称为“变化率”。物体动量的变化率等于向物体以同一方向所施的力。今天常用的表达方式是\textbf{\emph{F}}=m\textbf{\emph{a}},它包换了微分,因为加速度速度的导数,或是位置矢量的二阶导数。已知物体的加速度,我们就可以得出它的路径。

麦克斯韦尔的电磁学爱因斯坦广义相对论都应用了微分。化学使用微积分来计算反应速率,放射性衰退。生物学用微积分来计算种群动态,输入繁殖和死亡率来模拟种群改变。

微积分可以与其他数学分支交叉混合。例如,混合线性代数来求得值域中一组数列的“最佳”线性近似。它也可以用在概率论中来确定由假设密度方程产生的连续随机变量的概率。在解析几何对方程图像的研究中,微积分可以求得最大值、最小值、斜率、凹度、拐点等。

格林公式连接了一個封閉曲線上的線積分與一個邊界為C且平面區域為D的雙重積分。它被设计为求積儀工具,用以量度不規則的平面面積。例如,它可以在设计时计算不规则的花瓣床、游泳池的面积。

在医疗领域,微积分可以计算血管最优支角,将血流最大化。通过药物在体内的衰退数据,微积分可以推导出服用量。在核医学中,它可以为治疗肿瘤建立放射输送模型。

在经济学中,微积分可以通过计算边际成本边际利润来确定最大收益。

微积分也被用于寻找方程的近似值;实践中,它用于解微分方程,计算相关的应用题,如牛顿法、定点循环、线性近似等。比如,宇宙飞船利用欧拉方法来求得零重力环境下的近似曲线。

微積分學課程[编辑]

在大學的理工科教学中,微积分是「高等數學」的主要内容之一。其教學法由學科創立一開始就受到人們重視。在美国大学先修课程中,AP微积分AB、BC分别为对应大学一元微积分半年、全年课程。

在香港,微積分是新高中課程數學(延展部分)的一部份,這部分是選修的。

參見[编辑]

脚注[编辑]

  1. ^ Morris Kline, Mathematical thought from ancient to modern times, Vol. I
  2. ^ Archimedes, Method, in The Works of Archimedes ISBN 978-0-521-66160-7
  3. ^ Dun, Liu; Fan, Dainian; Cohen, Robert Sonné (1966). A comparison of Archimdes' and Liu Hui's studies of circles. Chinese studies in the history and philosophy of science and technology 130. Springer. p. 279. ISBN 0-7923-3463-9. , Chapter , p. 279
  4. ^ Zill, Dennis G.; Wright, Scott; Wright, Warren S. (2009). Calculus: Early Transcendentals (3 ed.). Jones & Bartlett Learning. p. xxvii. ISBN 0-7637-5995-3. , Extract of page 27
  5. ^ André Weil: Number theory. An approach through history. From Hammurapi to Legendre. Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 1984, ISBN 0-8176-4565-9, p. 28.
  6. ^ Donald Allen: Calculus, http://www.math.tamu.edu/~dallen/history/calc1/calc1.html
  7. ^ Leibniz, Gottfried Wilhelm. The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz. Cosimo, Inc., 2008. Page 228. Copy
  8. ^ Unlu, Elif (April 1995). "Maria Gaetana Agnesi". Agnes Scott College.
  9. ^ Katz, Mikhail; Sherry, David, Leibniz’s Infinitesimals: Their Fictionality, Their Modern Implementations, and Their Foes from Berkeley to Russell and Beyond, Erkenntnis. 2012, doi:10.1007/s10670-012-9370-y .

参考文献[编辑]

外部链接[编辑]