面积

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面積是一個用作表示一個曲面平面圖形所佔範圍的,可看成是長度(一維度量)及體積(三維度量)的二維類比。對三維立體圖形而言,圖形的邊界的面積稱為表面積

計算各基本平面圖形面積及基本立體圖形的表面積公式早已為古希臘及古中國人所熟知。

面積在近代數學中佔相當重要的角色。面積除與幾何學微積分有關外,亦與線性代數中的行列式有關。在分析學中,平面的面積通常以勒貝格測度(Lebesgue measure)定義。

我們可以利用公理,將面積定義為一個由平面圖形的集合映射至實數函數

定義[编辑]

其中一個定義面積的方法是利用公理定義。面積可以定義為一個由所有(可測)平面圖形組成的集合M映射至實數的函數a,並滿足以下條件:

  • 對於所有S \in M,有a(S) \ge 0
  • S, T \in M,則S \cup T \in MS \cap T \in M,且a(S \cup T) = a(S) + a(T) - a(S \cap T)
  • S, T \in MS \subseteq T,則T - S \in M,且a(T - S) = a(T) - a(S)
  • S \in MS全等於T,則T \in M,且a(S) = a(T)
  • 任一矩形R均屬於M。若矩形的長為\ell而寬為w,則a(R) = \ell w
  • Q為一平面圖形。若存在唯一的實數c,使得所有滿足S \subseteq Q \subseteq T的有限個矩形的聯集(finite union of rectangles)ST均有a(S) \le c \le a(T),則Q \in M,且a(Q) = c

可以證明,滿足上述條件的函數存在。 [1]

單位[编辑]

面積的測量單位主要包括:

市制:

臺制:

  • ——9,699.173平方公尺[3]
  • ——3.3058平方公尺[3]

香港:

面積公式[编辑]

多邊形公式[编辑]

長方形[编辑]

A rectangle with length and width labelled
這個長方形的面積是 lw.

最基本的面積公式是長方形的公式。當l是長,w是寬時,其公式為:[4]

A=lw

當其圖形是一個正方形時,l = w,因此正方形的公式為:[4]

A=s^2

長方形的面積計算方法需要證明。


證明 [1][编辑]

證明

引理:兩個長方形面積之比等於其長寬之積之比

如圖,根據《幾何原本》第六卷命題一 ——等高之三角形方形自相與為比例與其底之比例等[2],我們得到

\frac{B}{Y}=\frac{a}{c}
\frac{Y}{G}=\frac{b}{d}

將兩者相乘,可得:

\frac{BY}{GY}=\frac{ab}{cd}
\frac{B}{G}=\frac{ab}{cd}

(引理證畢)

定理:長方形的面積等於其長寬之積

根據引理,

\frac{A}{R}=\frac{lw}{1\times 1}

定義單位正方形的面積為一平方單位。由於R是單位正方形,因此面積是一平方單位。將一平方單位代入R,得到:

A=lw

(定理證畢)

A diagram showing how a parallelogram can be re-arranged into the shape of a rectangle
面積相同

切割圖形[编辑]

有些簡單的公式可以切割的方式得出。

例如平行四邊形,可以切割成一個梯形和一個直角三角形,如同右圖。如果三角形移到平行四邊形的另一邊,就可以變成一個長方形。因此,平行四邊形的公式有點像長方形的公式:[4]

A=bh

A parallelogram split into two equal triangles
兩個全等三角形

至於同樣的平行四邊形可以分割為兩個全等三角形。因此三角形的公式為:[4]

A = \frac{1}{2}bh

曲線圖形面積[编辑]

A circle divided into many sectors can be re-arranged roughly to form a parallelogram
圓形可以分割為很多扇形

圓形面積公式是基於基本的面積公式,假設有一個半徑為r的圓形,分成很多扇形,那一個扇形的面積就會很接近三角形,就像右圖一樣。如果分得夠細小,就可以看到半徑為r的圓形面積相等於一個高為r,底為πr的平行四邊形。[5]

A=\pi r^2

我們也可以用積分得到更肯定為準確的答案

A \;=\; \int_{-r}^r 2\sqrt{r^2 - x^2}\,dx \;=\; \pi r^2

計算不規則之圖形面積,可用填補法切割法來計算之。

表面積[编辑]

一些基本的立體表面積公式:

  • 立方體6 x^2x是立方體的邊長)
  • 長方體2 (lw + wh + hl)lwh分別是長方體的長、寬和高)
  • 球體4 \pi r^2r是球體的半徑)
  • 球冠2 \pi rh(球冠是指被平面截下的部分球面;r是球體的半徑;h是球冠高)
  • 直立圓錐體\pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2})r是圓錐體底部的半徑,h是它的高)
  • 直立圓柱體2 \pi r (h + r)r是圓柱體圓形底部的半徑,h是它的高)
其他面積公式
形狀 公式 變數所代表的
等邊三角形 \frac\sqrt{3}{4}s^2\,\! s是邊長。
三角形[6] \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\,\!  s 是周長的一半,abc是三條邊的長度。
三角形[4] \tfrac12 a b \sin(C)\,\! ab是任意兩條邊,而C是兩條邊的夾角。
三角形[6] \tfrac12bh \,\! b是底,h是高。
菱形 \tfrac12ab ab分別是菱形的兩條對角線
平行四邊形 bh\,\! b是底,h是高。
梯形 \frac{(a+b)h}{2} \,\! ab是平行的邊,h是平行的邊之間的高。
正六邊形 \frac{3}{2} \sqrt{3}s^2\,\! s是正六邊形的邊長。
正八邊形 2(1+\sqrt{2})s^2\,\! s是正八邊形的邊長。
正多邊形 \frac{1}{4}nl^2\cdot \cot(\pi/n)\,\!    l   是邊長而n是邊數量。
正多邊形 \frac{1}{4n}p^2\cdot \cot(\pi/n)\,\!    p   是周長n是邊數量。
正多邊形 \frac{1}{2}nR^2\cdot \sin(2\pi/n) = nr^2 \tan(\pi/n)\,\!    R   外切圓的半徑,r內切圓的半徑,而n是邊數量。
正多邊形 \tfrac12a p \,\! a邊心距,或稱作內切圓的半徑,而p是多邊形的周長。
圓形 \pi r^2\ \text{or}\ \frac{\pi d^2}{4} \,\! r是半徑,d是直徑。
扇形 \frac{\theta}{2}r^2\ \text{or}\ \frac{L \cdot r}{2}\,\! r\theta分別是半徑和角度,L是周界。
橢圓形[4] \pi ab \,\! ab分別是半長軸半短軸
圓柱體表面面積 2\pi r (r + h)\,\! rh分別是半徑和直徑。
圓柱體側表面面積 2 \pi r h \,\! rh分別是半徑和直徑。
球體表面面積 4\pi r^2\ \text{or}\ \pi d^2\,\! rd分別是半徑和直徑。
錐體表面面積[7] B+\frac{P L}{2}\,\! B是底面積,P是底周長而,L是斜高。
錐體平截頭體的表面面積[7] B+\frac{P L}{2}\,\! B是底面積,P是底周長,L是斜高。
正方形轉換成圓形段面積 \frac{4}{\pi} A\,\! A是正方形面積。
圓形轉換成正方形後面積 \frac{1}{4} C\pi\,\! C是圓形面積。
勒洛三角形 \frac{\pi x^2}{6}-\frac{3 \sqrt{x^2-(\frac{x}{2})^2}}{2}+\frac{\sqrt{x^2-(\frac{x}{2})^2}}{2} x是勒洛三角形內三角形的邊。

單位列表[编辑]

公制[编辑]

名稱 符號 定義 平方公尺的換算
平方佑公尺、平方堯米 Ym² 邊長為1佑公尺(堯米)的正方形的面積 1048
平方皆公尺、平方澤米 Zm² 邊長為1皆公尺(澤米)的正方形的面積 1042
平方艾公尺 Em² 邊長為1艾公尺的正方形的面積 1036
平方拍公尺 Pm² 邊長為1拍公尺的正方形的面積 1030
平方兆公尺、平方太米 Tm² 邊長為1兆公尺(太米)的正方形的面積 1024
平方吉公尺 Gm² 邊長為1吉公尺的正方形的面積 1018
平方百萬公尺、平方兆米 Mm² 邊長為1百萬公尺(兆米)的正方形的面積 1012
平方公里、平方千米 km² 邊長為1公里(千米)的正方形的面積 106
平方公引、平方百米 hm² 邊長為1公引(百米)的正方形的面積 104
平方公丈、平方十米 dam² 邊長為1公丈(十米)的正方形的面積 102
平方公尺、平方米 邊長為1公尺(米)的正方形的面積 1
平方公寸、平方分米 dm² 邊長為1公寸(分米)的正方形的面積 10-2
平方公分、平方厘米 cm² 邊長為1公分(厘米)的正方形的面積 10-4
平方公厘、平方毫米 mm² 邊長為1公厘(毫米)的正方形的面積 10-6
平方微米 cm² 邊長為1微米的正方形的面積 10-12
平方奈米、平方納米 nm² 邊長為1奈米(納米)的正方形的面積 10-18
平方皮米 pm² 邊長為1皮米的正方形的面積 10-24
平方飛米 fm² 邊長為1飛米的正方形的面積 10-30
平方阿米 am² 邊長為1阿米的正方形的面積 10-36
平方介米、平方仄米 zm² 邊長為1介米(仄米)的正方形的面積 10-42
平方攸米、平方幺米 ym² 邊長為1攸米(幺米)的正方形的面積 10-48

腳注[编辑]

  1. ^ Moise, Edwin. Elementary Geometry from an Advanced Standpoint. Addison-Wesley Pub. Co. 1963年 [15 July 2012]. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 Exploring mathematics 1A, p.xvi, xvii , ISBN:978-0-19-597106-4
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 http://www.kwuntung.net/hkunit/area/
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 Area Formulas. Math.com. [2 July 2012]. 
  5. ^ Braden, Bart. The Surveyor's Area Formula. The College Mathematics Journal. September 1986, 17 (4): 326–337 [15 July 2012]. doi:10.2307/2686282. 
  6. ^ 6.0 6.1 Eric W. Weisstein. Area. Wolfram MathWorld. [3 July 2012]. 
  7. ^ 7.0 7.1 Eric W. Weisstein. Surface Area. Wolfram MathWorld. [3 July 2012].