相似三角形

相似三角形

如右圖，兩個三角形，三個對應的內角的角度都一樣（但邊長大小不需一樣）的兩個三角形，稱為「相似三角形」。

• 下列三對邊長，稱為「對應邊」

$\overline{A B} \; \overline{D E}, \overline{B C} \; \overline{E F}, \overline{C A} \; \overline{F D}$

• 下列三對角，稱為「對應角」

$\angle A \; \angle D,\angle B \; \angle E,\angle C \; \angle F$

當兩個三角形相似時，我們利用下面的符號來表示：

$\triangle ABC \sim \triangle DEF$

• 利用上面的符號表示時，必須保持對應角的正確順序，不可隨意排列。

性質

對應角相等

若兩個三角形相似，則三個對應角相等。

$\angle A =\angle D ,\angle B =\angle E ,\angle C =\angle F$

對應邊成比例

若兩個三角形相似，則三個對應邊長成比例。

$\frac{\overline{A B}}{\overline{D E}} = \frac{\overline{B C}}{\overline{E F}} = \frac{\overline{C A}}{\overline{F D}}$

判別方法

下列幾種性質均可驗證為相似三角形

• AA：任兩對應角相等(又稱為AAA相似)，AAA相似可簡化成AA因為三角形內角和固定。
• SSS：三對應邊長皆成比例。
• SAS：兩對應邊成比例，且此兩對應邊夾角相等。

直角三角形母子相似性質

任意直角三角形

如右圖，在 $\triangle BAC$中，$\angle CAB =90^\operatorname{\omicron}$ ， $\overline{A D}\perp\overline{B C}$ 且交 $\overline{B C}$ 於 D。

• 在$\triangle BAC$ 中， $\angle CAB =90^\operatorname{\omicron}$ ， $\angle B + \angle C = 90^\operatorname{\omicron}$

• 在$\triangle ADC$ 中， $\angle ADC =90^\operatorname{\omicron}$ ， $\angle DAC + \angle C = 90^\operatorname{\omicron}$

• 在$\triangle BDA$ 中， $\angle BDA =90^\operatorname{\omicron}$ ， $\angle B + \angle DAB = 90^\operatorname{\omicron}$

• $\because \angle C = \angle C \therefore \angle B = \angle DAC$
• $\because \angle B = \angle B \therefore \angle C = \angle DAB$

• $\triangle BAC\sim \triangle ADC\sim \triangle BDA$
• $\overline{A C}^2 = \overline{C D} \times \overline{C B}$
• $\overline{A B}^2 = \overline{B D} \times \overline{B C}$
• $\overline{A D}^2 = \overline{D C} \times \overline{D B}$

參考文獻

• 三角形的全等與相似（英文）