抛物面

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双曲抛物面
旋转抛物面

抛物面二次曲面的一种。抛物面有两种:椭圆抛物面双曲抛物面。椭圆抛物面在笛卡儿坐标系中的方程为:


z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}.

双曲抛物面在笛卡儿坐标系中的方程为:


z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}.

性质[编辑]

a = b时,曲面称为旋转抛物面,它可以由抛物线绕着它的轴旋转而成。它是抛物面反射器的形状,把光源放在焦点上,经镜面反射后,会形成一束平行的光线。反过来也成立,一束平行的光线照向镜面后,会聚集在焦点上。

曲率[编辑]

椭圆抛物面的参数方程为:

 \vec \sigma(u,v) = \left(u, v, {u^2 \over a^2} + {v^2 \over b^2}\right)

高斯曲率为:

 K(u,v) = {4 \over a^2 b^2 \left(1 + {4 u^2 \over a^4} + {4 v^2 \over b^4}\right)^2}

平均曲率为:

 H(u,v) = {a^2 + b^2 + {4 u^2 \over a^2} + {4 v^2 \over b^2} \over a^2 b^2 \left(1 + {4 u^2 \over a^4} + {4 v^2 \over b^4}\right)^{3/2}}

它们都是正数,在顶点处最大,越远离顶点曲率越小,并趋近于零。

双曲抛物面的参数方程为:

 \vec \sigma (u,v) = \left(u, v, {u^2 \over a^2} - {v^2 \over b^2}\right)

高斯曲率为:

 K(u,v) = {-4 \over a^2 b^2 \left(1 + {4 u^2 \over a^4} + {4 v^2 \over b^4}\right)^2}

平均曲率为:

 H(u,v) = {-a^2 + b^2 - {4 u^2 \over a^2} + {4 v^2 \over b^2} \over a^2 b^2 \left(1 + {4 u^2 \over a^4} + {4 v^2 \over b^4}\right)^{3/2}}.

乘法表[编辑]

如果把双曲抛物面

 z = {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2}

顺着+z的方向旋转π/4的角度,则方程为:

 z = {1\over 2} (x^2 + y^2) \left({1\over a^2} - {1\over b^2}\right) + x y \left({1\over a^2}+{1\over b^2}\right)

如果\ a=b,则简化为:

 z = {2\over a^2} x y .

最后,设 a=\sqrt{2} ,我们可以看到双曲抛物面

 z = {x^2 - y^2 \over 2} .

与以下的曲面是全等的:

\ z = x y

因此它可以视为乘法表的几何表示。

两个\mathbb{R}^2 \rarr \mathbb{R}函数

 z_1 (x,y) = {x^2 - y^2 \over 2}

\ z_2 (x,y) = x y

调和共轭,它们在一起形成解析函数

 f(z) = {1\over 2} z^2 = f(x + i y) = z_1 (x,y) + i z_2 (x,y)

它是\mathbb{R}\rarr \mathbb{R}函数\ f(x) = {1\over 2} x^2 解析延拓

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  • Beyer, W. H. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 133, 1987.
  • Gray, A. "The Paraboloid." §13.5 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 307-308, 1997.
  • Harris, J. W. and Stocker, H. "Paraboloid of Revolution." §4.10.2 in Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, p. 112, 1998.
  • Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S. Geometry and the Imagination. New York: Chelsea, pp. 10-11, 1999.
  • Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, 1999.