四邊形

四邊形
六種四邊形
邊	4
頂點	4
施萊夫利符號	{4} (正方形時)
面積	various methods; 見下文
內角 (度)	90° (正方形時)

四邊形是有四條邊、四個頂點或角的多邊形。

種類及其定義

• 折四邊形：兩對邊相交
• 凹四邊形：一內角角度大於180度
• 圓內接四邊形：含有外接圓
• 圓外切四邊形：含有內接圓
• 梯形：一對對邊平行
• 等腰梯形：一對對邊平行、另外兩邊等長但不平行
• 三等邊梯形：一對對邊平行、另外兩邊和一底邊等長
• 平行四邊形：兩對對邊平行
• 正軸四邊形：兩對角線垂直
• 雙心四邊形：兩對角線垂直，含有外接圓和內接圓
• 鷂形（箏形）：兩對鄰邊相等，一對角線垂直平分另一對角線
• 菱形：四邊相等
• 矩形：四角相等
• 正方形：四邊、四角相等

四邊形分類表

分類

• 根據對稱的特性
  • 一條對角線為對稱軸：鷂形
  • 對角線均為對稱軸：菱形
  • 一條對稱軸：等腰梯形，鹞形
  • 兩條對稱軸：矩形，菱形
  • 四條對稱軸：正方形
  • 旋轉對稱重合兩次：平行四邊形
  • 旋轉對稱重合四次：正方形

• 根據四邊長度：
  • 兩對對邊長度相等：平行四邊形
  • 兩對鄰邊長度相等：鷂形
  • 四邊長度相等：菱形,正方形

• 根據角度大小：
  • 兩對對角相等：平行四邊形
  • 兩對相鄰角相等：等腰梯形
  • 四角相等：矩形
  • 對角和等於$180^\circ$：圓內接四邊形

• 根據邊的情形：
  • 一對對邊平行：梯形
  • 兩對對邊平行：平行四邊形
  • 四邊可接圓形：圓外切四邊形

• 根據頂點的情形：
  • 頂點都在一個圓上：圓內接四邊形

相關公式

四邊形內角和為360°。

若凸四邊形的四邊長度分別是a、b、c、d，對角線長度為e、f，對角線相交的角度為θ，其面積為：

$\frac{1}{4}\sqrt{4e^2f^2-\left(b^2+d^2-a^2-c^2\right)^2}$

$\frac{1}{2} e f \sin \theta$

$\frac{1}{4}\left(b^2+d^2-a^2-c^2\right) \tan \theta$

若對角線相交的角度為θ，四邊形的對邊的關係： $\theta = 90^\circ \Longleftrightarrow a^2+c^2 = b^2+d^2$

面積公式

• 海倫公式（海龍公式）
• 圓外切四邊形：婆羅摩笈多公式
• 梯形：兩底邊之和×高÷2
• 鷂形（箏形）：兩對角線之積÷2
• 平行四邊形：底邊×高
• 菱形：兩對角線之積÷2
• 矩形：兩相鄰邊之積
• 雙心四邊形：a、b、c、d為四邊邊長。 $\sqrt{abcd}$
• 正方形：邊長平方

外部鏈結

• 任意四邊形面積求法