四面體

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四面體
四面體
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類別 多面體
4
6
頂點 4
歐拉特徵數 F=4, E=6, V=4 (χ=2)
面的種類 三角形
Coxeter diagram CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
施萊夫利符號 {3,3}
Wythoff symbol 3 | 2 3
對稱群 Td, [3,3], (*332)
對偶 四面體
Rotation group T, [3,3]+, (332)
Tetrahedron.svg

四面體是由四個三角形組成的多面體,每两个三角形都有一个共同的边,每三个三角形都有一个共同的顶点。四面体有四个顶点,六条棱,四个面,是所有凸多面体中最简单的。四面體包括正四面體鍥形體等種類,由四個全等的正三角形組成的四面體稱為正四面體。四面体也可以依角的類型分為銳角四面體鈍角四面體、和直角四面體。

四面体是欧几里德单纯形在三维空间中的特例。

四面体也是锥体的一种。锥体是指将某个平面上的多面体的所有顶点分别和平面外的一点以线段连接後构成的多面体。按锥体的分类方法,所有四面體都是由某平面上的三角形和平面外一点构成的锥体,所以四面体也被称为三角錐

与所有的凸多面体一样,四面体可以由某个平面图形(展开图)折叠而成。这样的展开图通常有两种。

与三角形类似,任何四面体的四个顶点都在同一个球面上。这个球称为四面体的外接球。同样地,存在一个与四面体的四个面都相切的球,称为四面体的内切球

性质[编辑]

四面体具有许多与之二维类比三角形相似的性质,例如,像三角形一样,四面体也有内切球、外接球、旁切球和中点四面体。四面体也有各种不同几何意义上的中心,例如内心、外心、旁心、Spieker心英语Spieker circle和形心(在二维,Spieker心就是形心,但在三维情况发生了变化,Spieker心并不一定是形心),但是,四面体不总是有垂心,因为四面体的4条高并不一定交于一点。四面体的中点四面体的外接球是三角形九点圆的三维类比,但它并不总是通过原四面体高的垂足。
加斯帕尔·蒙日发现了存在于每一个四面体中的一个特殊中心,现在被命名为蒙日点:它是四面体六个中位面的交点。四面体的中位面被定义为一个与四面体其中两个顶点连成的边垂直,并且包含由另外两个顶点连成的对边的中点的平面。如果四面体的4条高交于了一点,形成了垂心,那么蒙日点将与垂心重合,并且这样的特殊四面体被称为“垂心四面体英语Orthocentric tetrahedron”。
从蒙日点引向任意一面的垂线都会交这个面于这个三角形面的垂心与此面上四面体的高的垂足连线的中点。
四面体顶点和其对面形心的连线叫做四面体的中线,而四面体一条边中点和其对边中点的连线叫做四面体的双中线,这样,四面体中一共有4条中线和3条双中线。这7条线段都是共点的,它们的交点即是四面体的形心。四面体的形心是其蒙日点和外心连线的中点,这3个点一起决定了四面体的欧拉线,这是二维三角形欧拉线的三维类比。
四面体十二点球的球心T也位于这条欧拉线上。但不像其二维类比,这个球心位于从蒙日点到外心1/3处。并且,从这个心到四面体任意一选定面的垂线与另两条垂线共面:第一条是过其对应欧拉点(即蒙日点与该面所对顶点连线与十二点球的交点)到该面的垂线,第二条是过该面形心的垂线。这条十二点心垂线到欧拉点垂线和形心垂线的距离相等。除此以外,十二点心还是四面体任何一面对应欧拉点和该面垂心连线的中点。
四面体十二点球的半径是外接球半径的1/3
对于任意的四面体,我们能给出其二面角之间的关系:

\begin{vmatrix}  -1 & \cos{(\alpha_{12})} & \cos{(\alpha_{13})} & \cos{(\alpha_{14})}\\
\cos{(\alpha_{12})} & -1 & \cos{(\alpha_{23})} & \cos{(\alpha_{24})} \\
\cos{(\alpha_{13})} & \cos{(\alpha_{23})} & -1 & \cos{(\alpha_{34})} \\
\cos{(\alpha_{14})} & \cos{(\alpha_{24})} & \cos{(\alpha_{34})} & -1 \\ \end{vmatrix} = 0\,

这里 \alpha_{ij}代表面ij之间的二面角。

体积[编辑]

任意四面体的体积公式可由棱锥的体积公式给出:

V = \frac{1}{3} A_0\,h \,

在这里A0是底面面积,h是从底面到顶点的高。这个体积公式对四个任意的底面的选择都成立,因此我们可以推断出对同一个四面体,其一个面上的高与这面的面积成反比。
对于一个四个顶点分别为 a = (a1, a2, a3)b = (b1, b2, b3)c = (c1, c2, c3)d = (d1, d2, d3) 的四面体,其体积公式为(1/6)·|(ad, bd, cd)|一公式也可以用点积叉积写为:

V = \frac { |(\mathbf{a}-\mathbf{d}) \cdot ((\mathbf{b}-\mathbf{d}) \times (\mathbf{c}-\mathbf{d}))| } {6}.

如果建立恰当的坐标系统,使得原点与d顶点重合,即d=0的话,该式可以简化为:

V = \frac { |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})| } {6},

这里abc代表着三条交于一顶点的边,并且我们发现a · (b × c)标量三重积。将这个公式与计算平行六面体体积的公式对比,我们发现正四面体的体积等于任何与其共三条交于一顶点的边的平行六面体体积的六分之一。

这个三重积可以用下列行列式表示:

6 \cdot V =\begin{vmatrix}
\mathbf{a} & \mathbf{b} & \mathbf{c}
\end{vmatrix} 或者 6 \cdot V =\begin{vmatrix}
\mathbf{a} \\ \mathbf{b} \\ \mathbf{c}
\end{vmatrix} 这里像 \mathbf{a} = (a_1,a_2,a_3) \, 可以被表示为横或纵向量。

因此

36 \cdot V^2 =\begin{vmatrix}
\mathbf{a^2} & \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} & \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} \\
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} & \mathbf{b^2} & \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} \\
\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} & \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} & \mathbf{c^2}
\end{vmatrix} 这里 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = ab\cos{\gamma} 等。

这样,我们能给出:

V = \frac {abc} {6} \sqrt{1 + 2\cos{\alpha}\cos{\beta}\cos{\gamma}-\cos^2{\alpha}-\cos^2{\beta}-\cos^2{\gamma}}, \,

这里αβγ是以d为顶点的平面角。角α是连接顶点d和顶点bc的棱之间的夹角,而βdac棱的夹角,γdab棱的夹角。

如果我们已知四面体四个顶点之间相互的距离,那么其体积可用Cayley–Menger行列式英语Cayley–Menger determinant表示:

288 \cdot V^2 =
\begin{vmatrix}
  0 & 1        & 1        & 1        & 1        \\
  1 & 0        & d_{12}^2 & d_{13}^2 & d_{14}^2 \\
  1 & d_{12}^2 & 0        & d_{23}^2 & d_{24}^2 \\
  1 & d_{13}^2 & d_{23}^2 & 0        & d_{34}^2 \\
  1 & d_{14}^2 & d_{24}^2 & d_{34}^2 & 0
\end{vmatrix}

这里下标i,\,j\in\{1,\,2,\,3,\,4\}代表顶点{a, b, c, d},而\scriptstyle d_{ij}是两两顶点之间的距离,亦即连接着两顶点之间棱的长度。如果行列式是零或是负数这意味着我们不可能用该给定的4个长度来构建一个四面体。这个公式,亦被称作塔塔利亚公式,被15世纪的画家皮耶罗·德拉·弗朗切斯卡认为是极其重要的,它被看作是1世纪的三角形面积海伦公式的三维类比。[1]

海伦公式形态的四面体体积公式[编辑]

如果U、V、W、u、v、w是四面体的六条边长(U、V、W构成四面体的其中一个三角形面,而u是与U相对的棱,v是与V相对的棱,w是与W相对的棱),则四面体体积[2]

V = \frac{\sqrt {\,( - a + b + c + d)\,(a - b + c + d)\,(a + b - c + d)\,(a + b + c - d)}}{192\,u\,v\,w}

这里


\begin{align}
    a & = \sqrt {xYZ} \\ b & = \sqrt {yZX} \\ c & = \sqrt {zXY} \\ d & = \sqrt {xyz} \\ X & = (w - U + v)\,(U + v + w) \\ x & = (U - v + w)\,(v - w + U) \\ Y & = (u - V + w)\,(V + w + u) \\ y & = (V - w + u)\,(w - u + V) \\ Z & = (v - W + u)\,(W + u + v) \\ z & = (W - u + v)\,(u - v + W).
\end{align}

利用四面体边之间的距离[编辑]

四面体两条相对的边处于两条互相歪斜(在三维空间中既不相交也不平行,等价于异面)的直线上,所以四面体相对边之间的距离就被定义为其所在互相歪斜的直线之间的距离。设d是四面体相对的边abc之间的距离,则四面体的另一个体积公式是:

V = \frac {d |(\mathbf{a} \times \mathbf{(b-c)})| } {6}.

关于四面体性质的其它向量公式[编辑]

如果OABC四点能够构成一个四面体,并且O点位于我们所定的空间直角坐标系的原点,而向量abc代表着顶点A、B、C相对于O的位置,则四面体内切圆半径可表示为:(在以下的公式中,像a2这样的向量的平方代表着数量积a·ab2c2也是这样)

r= \frac {6V} {|\mathbf{b} \times \mathbf{c}| + |\mathbf{c} \times \mathbf{a}| + |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| + |(\mathbf{b} \times \mathbf{c}) + (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) + (\mathbf{a} \times \mathbf{b})|} \,

外接圆半径可表示为:

R= \frac {|\mathbf{a^2}(\mathbf{b} \times \mathbf{c}) + \mathbf{b^2}(\mathbf{c} \times \mathbf{a}) + \mathbf{c^2}(\mathbf{a} \times \mathbf{b})|} {12V} \,

于是我们可知十二点圆半径为:

r_T= \frac {|\mathbf{a^2}(\mathbf{b} \times \mathbf{c}) + \mathbf{b^2}(\mathbf{c} \times \mathbf{a}) + \mathbf{c^2}(\mathbf{a} \times \mathbf{b})|} {36V} \,

这里V是四面体的体积:

6V= |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})|. \,

四面体的各种中心的位置向量是: 形心:

\mathbf{G} = \frac{\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c}}{4}. \,

内心:

\mathbf{I}= \frac{ |\mathbf{b}\times \mathbf{c}| \, \mathbf{a} + |\mathbf{c}\times \mathbf{a}| \, \mathbf{b} + |\mathbf{a}\times \mathbf{b}| \, \mathbf{c} }{ |\mathbf{b}\times \mathbf{c}| + |\mathbf{c}\times \mathbf{a}| + |\mathbf{a}\times \mathbf{b}| + |\mathbf{b}\times \mathbf{c} + \mathbf{c}\times \mathbf{a} + \mathbf{a}\times \mathbf{b}| }. \,

外心:

\mathbf{O}= \frac {\mathbf{a^2}(\mathbf{b} \times \mathbf{c}) + \mathbf{b^2}(\mathbf{c} \times \mathbf{a}) + \mathbf{c^2}(\mathbf{a} \times \mathbf{b})} {2\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})}. \,

蒙日点:

\mathbf{M} = \frac {\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c})(\mathbf{b} \times \mathbf{c}) + \mathbf{b}\cdot (\mathbf{c} + \mathbf{a})(\mathbf{c} \times \mathbf{a}) + \mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} + \mathbf{b})(\mathbf{a} \times \mathbf{b})} {2\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})}. \,

欧拉线上的中心之间的关系是:

 \mathbf{G} = \mathbf{M} + \frac{1}{2} (\mathbf{O}-\mathbf{M})\,
 \mathbf{T} = \mathbf{M} + \frac{1}{3} (\mathbf{O}-\mathbf{M})\,

这里T是十二点心。 在这里,我们还有:

\mathbf{a} \cdot \mathbf{O} = \frac {\mathbf{a^2}}{2} \quad\quad \mathbf{b} \cdot \mathbf{O} = \frac {\mathbf{b^2}}{2} \quad\quad \mathbf{c} \cdot \mathbf{O} = \frac {\mathbf{c^2}}{2}\,

和:

\mathbf{a} \cdot \mathbf{M} = \frac {\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c})}{2} \quad\quad \mathbf{b} \cdot \mathbf{M} = \frac {\mathbf{b} \cdot (\mathbf{c} + \mathbf{a})}{2} \quad\quad \mathbf{c} \cdot \mathbf{M} = \frac {\mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} + \mathbf{b})}{2}.\,

對稱變換群[编辑]

以下列表示出了对应四面体的图案,相同颜色的棱在等距同构对称变换中是等价的,而灰色则代表着条边是不同于任何另外一边的。

四面体名称
等价
图案
描述
对称性英语List of spherical symmetry groups
弗氏英语Schönflies_notation 考式英语Coxeter notation 軌式英语Orbifold notation
正四面体 Regular tetrahedron diagram.png 四个等边三角形,形成对称群Td,与对称群S4同构。
Td
T
[3,3]
[3,3]+
*332
332
24
12
正三棱锥 Isosceles trigonal pyramid diagram.png 一个等边三角形底面及三个等腰三角形侧面,有6个等距同构的对称变换,对应其底面的6个对称变换。对于所有可能的顶点排布,t这6个对称变换是:单位元 1、(123)、(132)、(12)、(13)和(23),形成对称群C3v,与对称群S3同构。
C3v
C3
[3]
[3]+
*33
33
6
3
複正方鍥形體
等腰四面体
Tetragonal disphenoid diagram.png 四个全等的等腰三角形,具有8个等距同构的对称变换。如果边(1,2)和(3,4)和另外4条边是不同颜色的,那么这8个对称变换是:单位元1、镜面反射(12)和 (34)、和(12)(34)、(13)(24)、(14)(23)的180°旋转以及非严格的(1234)和(1432)90°旋转。这些一起形成了对称群D2d.
D2d
S4
[2+,4]
[2+,4+]
2*2
8
4
複斜方鍥形體
非等腰四面体
Rhombic disphenoid diagram.png 四个全等的任意三角形,具有4个等距同构的对称变换。这些变换是:1和(12)(34)、(13)(24)、(14)(23)的180°旋转。这形成了柯恩四面体群V4或者Z22,表现为点群D2
D2 [2,2]+ 222 4
二面体锲形体 Digonal disphenoid diagram.png 两组全等的等腰三角形。在此对称性下,对边(1,2)和(3,4)是垂直的,但是“颜色”不同,4个等距同构的对称变换是:1、镜面反射(12)和(34)以及(12)(34)的180°旋转。对称群是C2v,与柯恩四面体群V4同构
C2v
=D1h
[2] *22 4
单锲形体 Sphenoid diagram.png 两个不同的等腰三角形共用一个底边。它有两对相等的边(1,3)和(1,4)、(2,3)和(2,4),除此之外再没有相等的边。唯一两个等距同构的对称变换是:1和镜面反射(34),对应对称群 Cs又同构于循环群Z2
Cs
=C1h
=C1v
[ ] * 2
半转四面体 Half-turn tetrahedron diagram.png 两组全等的任意三角形。它有两组相等的边(1,3)和(2,4)、(1,4)和(2,3),除此之外再没有相等的边。唯一两个等距同构的对称变换是:1和旋转(12)(34), 对应群C2,同构于循环群Z2
C2
=D1
[2]+ 22 2
任意四面体 Scalene tetrahedron diagram.png 没有相等的边,有4个不相等的任意三角形面,所以只有单位元变换是等距同构的,对称群是平凡群
C1 [ ]+ 1 1

四面体正弦定理和所有形状四面体所构成的空间[编辑]

Tetra.png
通过通常的三角形正弦定理,我们可以得到一个自然的推论,即在以OABC为顶点的四面体中,有

\sin\angle OAB\cdot\sin\angle OBC\cdot\sin\angle OCA = \sin\angle OAC\cdot\sin\angle OCB\cdot\sin\angle OBA.\,

这个等式的两边可以被看作分别是顺时针取向的角的正弦乘积和逆时针取向角的正弦乘积。
通过将不同的顶点置于上式中O点的位置,我们可以得到4个这样的等式,但实际上,只有最多3个等式是独立的,因为我们可以将这3个等式的“顺时针边”和“逆时针边”分别相乘,得到一个新的等式,再消去相同的因式,这样就能够通过这3个等式得到第4个等式。
三个角能属于同一个三角形当且仅当这三个角之和为180°(π弧度)。那么,12个角要满足什么充分必要条件,才能使其为一个四面体表面的12个角呢?首先,我们知道,四面体4个面每个面上的3个角之和都要为180°。因为我们对于这12个角有4个这样的限制,四面体12个角的取值自由度(统计学)从12降到了8。进一步地,四面体角的4个正弦定理又降低了自由度,但不是降到4而是降到了5,因为第4个四面体正弦定理并不是相对于前3个独立的。因此,我们只要确定了四面体12个表面角中的任意5个角,则这个四面体就被唯一确定了,因此,我们可以用五维空间中的点来描述所有的四面体,也就是说,所有形状四面体构成的空间是五维的。

參見[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ "Simplex Volumes and the Cayley-Menger Determinant", MathPages.com
  2. ^ Kahan, William M.; "What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?", pp. 16–17