正二十面體

正二十面體
(按這裡觀看旋轉模型)
類別	正多面体
面	20
邊	30
頂點	12
歐拉特徵數	F=20, E=30, V=12 (χ=2)
面的種類	正三角形
面的佈局	20{3}
頂點圖	3.3.3.3.3
施萊夫利符號	{3,5} and $s\begin{Bmatrix} 3 \\ 3 \end{Bmatrix}$
對稱群	5
參考索引	U₂₂, C₂₅, W₄
對偶	正十二面體
二面角	138.189685°
特性	正凸三角面多面體
3.3.3.3.3 (頂點圖)
(展開圖)
查论编

在幾何學中，正二十面體是一種正多面體，是由20個正三角形所組成的正多面體。同時，它是柏拉圖立體、三角面多面體也是康威多面體，是所有正多面體面數最多的，因為不可能有正多面體面數大於20。

正二十面體有20個面、30個邊和12個頂點，其對偶是正十二面體。它的頂點布局為3.3.3.3.3或3⁵，在施萊夫利符號中可用{3,5}來表示。

與正十二面體 [编辑]

在平面上，正多邊形內接到圓時，邊數越多，佔圓面積的百分比就越高；而在三維空間中，這個規則卻不可推廣——當正十二面體和正二十面體內接到一個球時，前者約佔66.4909%，後者僅佔60.5461%。

正十二面體是正二十面體的對偶多面體。

若有一個邊長為a的正二十面體，則它的外接球（同時過該正二十面體所有頂點的球）的半徑為：

$r_u = \frac{a}{2} \sqrt{\varphi \sqrt{5}} = \frac{a}{4} \sqrt{10 +2\sqrt{5}} = a\sin\frac{2\pi}{5} \approx 0.9510565163 \cdot a$ A019881

則有內切球（同時和該正二十面體所有面相切的球）的半徑為：

$r_i = \frac{\varphi^2 a}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{12} \left(3+ \sqrt{5} \right) a \approx 0.7557613141\cdot a$ A179294

另外，若有一個球同時過該正二十面體所有邊的中點，那它的半徑為：

$r_m = \frac{a \varphi}{2} = \frac{1}{4} \left(1+\sqrt{5}\right) a = a\cos\frac{\pi}{5} \approx 0.80901699\cdot a$ A019863

其中φ （也稱作τ）為黃金比例。

若用A表示表面積、V表示體積，而a是正二十面體的邊長，則有：

$A = 5\sqrt{3}a^2 \approx 8.66025404a^2,$ A010527

$V = \frac{5}{12} (3+\sqrt5)a^3 \approx 2.18169499a^3.$ A102208

後者 $F=20$ 約為正四面體的20倍，因為20面體以外接球球新為中心可以切割出20個四面體，其中的四面體的體積是底面積的三分之一倍， $r i$ 是高的 $\sqrt3a 2 /4$ 倍。

的外接球體的體積填充率是：

$f=V/(4 \pi r_u^3/3) = \frac{20(3+\surd 5)}{(2\surd 5+10)^{3/2}\pi}\approx 0.6054613829.$

正二十面體的頂點能共同分成五組，每組擁有三個同心、相互垂直的黃金矩形。

在直角坐標系中，一個邊長為二、重心再圓點的正二十面體的座標分別為：^[1]

(0, ±1, ±φ)

(±1, ±φ, 0)

(±φ, 0, ±1)

其中φ = (1 + √5) / 2是黃金比例（或記為τ）。值得注意的是，這些頂點能共同形成五組，每組擁有三個同心、相互垂直的黃金矩形，其邊形成博羅梅安環（英语：Borromean rings），其中，前者是因為正二十面體與黃金比例有密切的關係。如果原始的二十面體的邊長為1，那麼它的對偶——正十二面體的邊長就是 $\tfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ ，正好是一個黃金比例。