五边形

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正五邊形
Pentagon.svg
一個正五邊形
類型 正多邊形
5
頂點 5
對角線 5
施萊夫利符號 {5}
Coxeter diagram CDW ring.svgCDW 5.svgCDW dot.svg
對稱群 二面體群 (D5), order 2×5
面積 5
4
a2cotπ
5

1.720477400589a2
內角 () 108°
內角和 540°
對偶 正五邊形 (本身)
特性 , 圓內接多邊形, 等邊多邊形, 等角多邊形, isotoxal

五邊形幾何學上指所有有五條邊及五隻角的多邊形

正五边形,是正多边形的一种,有五条边,且所有边长均相等,每个内角均为108度。

將正五邊形的對角線連起來,可以造成一個五角星。組成的圖形裏可以找到一些和黄金分割(φ = (1+√5)/2)有關的長度。

面积[编辑]

正五边形[编辑]

边长为a的正五邊形,其面積就是\frac{5a^2}{4}\cot \frac{\pi}{5} \simeq 1.72048 a^2

一般五边形[编辑]

构造一个正五边形[编辑]

前300年欧几里得在他的《几何原本》中描述了一个用直尺和圆规做出正五边形的过程。

Geom pentagon.png

Regular Pentagon Inscribed in a Circle.gif

  1. 画一条水平线,通过此线上的任意点做一个
  2. 将圆规的一腿放在圆与直线的其一交点上,通过上述圆的圆心画半圆,并与之交两点。连接这两点做垂直线,与先前的水平线相交与(a)点.
  3. 张开圆规,以水平线与第一个圆的两个交点为圆心以相同半径在水平线上下第一个圆外分别做两个交点,这样可以得到一条通过第一个圆圆心的正交线,与第一个圆相交的位于水平线上方的点称之为(b).这是正五边形的第一个角。
  4. 将圆规的一脚放在(a)点上,(a)(b)间距为半径做另一个圆,交水平线于点(c)。
  5. 将圆规的一脚放在(b)点上,(b)(c)间距为半径做圆,交第一个圆于两点,这是正五边形的第二、三两点。
  6. 将圆规的一脚分别放在二、三两点上,同样是(b)(c)间距为半径交第一个圆于另外两点,这两点就是正五边形的最后两点。
  7. 连接相邻两点就构成了正五边形。
  8. 如果不是连接相邻两点(即对角线连接),就会得到一个五角星,在它的中间构成一个小的正五边形。或者延长每一边,得到一个大的正五角星。