梯形

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梯形
梯形
Trapezoid.svg
梯形
類型 四邊形
4
頂點 4
面積 \tfrac{a + b}{2} h
對偶 平行四邊形
特性

梯形有且仅有一组對邊平行凸四邊形。梯形平行的兩條邊为「底边」,分別稱為「上底」和「下底」,其间的距離為「高」,不平行的两条边为「腰」。下底与腰的夹角为「底角」,上底与腰的夹角为「顶角」。
严格来说,梯形的上下底按照位置而非长短来区分,但也有将较短的底称作上底,而较长者为下底的说法。[來源請求]

注意:廣義中,平行四邊形是梯形,因為它有一對邊平行[來源請求]。狹義中,平行四邊形並不是梯形,因為它有二對邊平行

中位线[编辑]

由梯形两腰的中点连成的线段称为梯形的中位线。梯形的中位线与上底和下底都平行,长度为上底与下底的长度之和的一半。

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a、b為梯形的底邊,a不等於b。c、d為梯形的兩腰。

則梯形的高:

h=\frac{\sqrt{-(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)(a-b-c-d)}}{2(a-b)}

面积[编辑]

梯形的面积S满足:

S=\frac{1}{2}h(a + b)=\frac{(a+b)\sqrt{-(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)(a-b-c-d)}}{4(a-b)}

其中,h是梯形的高,ab分别为其上底和下底。事实上,由于中位线m=\frac{a + b}{2}因此梯形面积S亦满足:

S=mh

其中m为中位线的长度。

以上两个公式均适用于任何梯形。

边角关系[编辑]

  • 上下底边平行,因此上下鄰角互为补角,度数和為180度。
  • 對角線分割另一條對角線的比相同

等腰梯形[编辑]

两腰长度相等的梯形称为等腰梯形。它具有如下性质:

  1. 两条对角线相等。
  2. 同一底上的二内角相等。
  3. 对角互补,四顶点共圆

依据以上性质,判定一个四边形是等腰梯形可以通过以下命题:

  1. 两腰相等的梯形是等腰梯形。
  2. 两条对角线相等的梯形是等腰梯形。
  3. 同一底上的二内角相等的梯形是等腰梯形。

直角梯形[编辑]

一个底角为90°的梯形是直角梯形。由于梯形的二底边平行,因此根据同旁内角关系,直角梯形一腰上的两个底角都是90°。

注意,矩形并非直角梯形,因为它虽然有一个角为90°,但不满足梯形的判定。