驻点

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微积分学
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函数 · 导数 · 微分 · 积分
驻點(紅色加號)與拐点(綠色圓圈)·這圖像的驻點都是局部最大值或局部最小值·

數學裏,特別是在微積分學裏,驻点,又稱為平穩點臨界點( critical point )是一個函數的一階導數為零,即 f'(x)=0\, 的點;在這一點,函數的輸出值停止增加或減少。

对于一维函数的图像,驻点的切线平行于x轴。对于二维函数的图像,驻点的切平面平行于xy平面。

值得注意的是,一个函数的驻点不一定是这个函数的极值点(考虑到这一点左右一阶导数符号不改变的情况);反过来,在某設定區域內,一个函数的极值点也不一定是这个函数的驻点(考慮到邊界條件)。

靜態平衡系統[编辑]

分析力學裏,虛功原理闡明,對於一個靜態平衡(static equilibrium)系統,所有外力的作用,經過虛位移,所作的虛功,總合等於零,以方程式表達,

\delta W = \sum_{i} \mathbf {F}_{i} \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0\,

其中,\delta W\, 是虛功,\mathbf {F}_{i}\, 是第 i\, 個外力,\mathbf{r}_i \, 是對應於 \mathbf {F}_{i}\, 的虛位移。

轉換為以廣義力 F_i\,廣義坐標 q_i\, 表達,

\delta W = \sum_{i} F_i \delta q_i = 0\,

假設這系統是保守系統,則每一個廣義力都是一個純量廣義位勢函數 V(q_1,q_2,\dots,q_n)\, 的對於其對應的廣義坐標的導數

F_{i} = - \frac{\partial V}{\partial q_i}\,

虛功與廣義位勢的關係為

\delta W = \sum_{i}  - \frac{\partial V}{\partial q_i} \delta q_i = - \delta V=0\,

所以,一個靜態平衡系統的位勢 V\, 乃是個局域平穩值。注意到這系統只處於平穩狀態。假設,要求這這系統處於穩定狀態,則位勢 V\, 必須是個局域極小值

歐拉-拉格朗日方程式[编辑]

變分法裏,歐拉-拉格朗日方程式是從其對應的泛函的平穩點推導出的一種微分方程式。設定

\mathbf{y}(x)=(y_1(x),\ y_2(x),\ \ldots, y_N(x))\,\!
\dot{\mathbf{y}}(x)=(\dot{y}_1(x),\ \dot{y}_2(x),\ \ldots,\ \dot{y}_N(x))\,\!
f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)=f(y_1(x),\ y_2(x),\ \ldots,\ y_N(x),\ \dot{y}_1(x),\ \dot{y}_2(x),\ \ldots,\ \dot{y}_N(x),\ x)\,\!

\mathbf{y}(x)\in(C^1[a,\ b])^N\,\! 使泛函  J(\mathbf{y})=\int_a^bf(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)dx\,\! 取得局部平穩值,則在區間 (a,\ b)\,\! 內對於所有的  i=1,\ 2,\ \ldots,\ N\,\! ,歐拉-拉格朗日方程式成立:

 \frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial \dot{y}_i}f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x) - \frac{\partial}{\partial y_i}f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)=0\,\!

参见[编辑]