三角换元法

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
微积分学
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函数 · 导数 · 微分 · 积分

三角换元法是一种计算积分的方法,是换元积分法的一个特例。

含有a2x2的积分[编辑]

在积分

\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}

中,我们可以用以下的代换:

x=a\sin(\theta),\ dx=a\cos(\theta)\,d\theta
\theta=\arcsin\left(\frac{x}{a}\right)

这样,积分变为:

\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \int\frac{a\cos(\theta)\,d\theta}{\sqrt{a^2-a^2\sin^2(\theta)}} = \int\frac{a\cos(\theta)\,d\theta}{\sqrt{a^2(1-\sin^2(\theta))}}
 {} = \int\frac{a\cos(\theta)\,d\theta}{\sqrt{a^2\cos^2(\theta)}} = \int d\theta=\theta+C=\arcsin\left(\frac{x}{a}\right)+C

注意以上的步骤需要a > 0和cos(θ) > 0;我们可以选择aa2的算术平方根,然后用反正弦函数把θ限制为−π/2 < θ < π/2。

对于定积分的计算,我们必须知道积分限是怎样变化。例如,当x从0增加到a/2时,sin(θ)从0增加到1/2,所以θ从0增加到π/6。因此,我们有:

\int_0^{a/2}\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}
=\int_0^{\pi/6}d\theta=\frac{\pi}{6}.

含有a2 + x2的积分[编辑]

在积分

\int\frac{dx}{a^2+x^2}

中,我们可以用以下的代换:

x=a\tan(\theta),\ dx=a\sec^2(\theta)\,d\theta
\theta=\arctan\left(\frac{x}{a}\right)

这样,积分变为:


\begin{align}
& {} \quad \int\frac{dx}{a^2+x^2} = \int\frac{a\sec^2(\theta)\,d\theta}{a^2+a^2\tan^2(\theta)} = \int\frac{a\sec^2(\theta)\,d\theta}{a^2(1+\tan^2(\theta))} \\
& {} = \int \frac{a\sec^2(\theta)\,d\theta}{a^2\sec^2(\theta)} = \int \frac{d\theta}{a} = \frac{\theta}{a}+C = \frac{1}{a} \arctan \left(\frac{x}{a}\right)+C
\end{align}

a > 0)。

含有x2a2的积分[编辑]

以下的积分

\int\frac{dx}{x^2 - a^2}

可以用部分分式的方法来计算,但是,

\int\sqrt{x^2 - a^2}\,dx

则必须要用换元法:

x = a \sec(\theta),\ dx = a \sec(\theta)\tan(\theta)\,d\theta
\theta = \arcsec\left(\frac{x}{a}\right)

\begin{align}
& {} \quad \int\sqrt{x^2 - a^2}\,dx = \int\sqrt{a^2 \sec^2(\theta) - a^2} \cdot a \sec(\theta)\tan(\theta)\,d\theta \\
& {} = \int\sqrt{a^2 (\sec^2(\theta) - 1)} \cdot a \sec(\theta)\tan(\theta)\,d\theta = \int\sqrt{a^2 \tan^2(\theta)} \cdot a \sec(\theta)\tan(\theta)\,d\theta \\
& {} = \int a^2 \sec(\theta)\tan^2(\theta)\,d\theta = a^2 \int \sec(\theta)\ (\sec^2(\theta) - 1)\,d\theta \\
& {} = a^2 \int (\sec^3(\theta) - \sec(\theta))\,d\theta.
\end{align}

含有三角函数的积分[编辑]

对于含有三角函数的积分,可以用以下的代换:

\int f(\sin x,\cos x)\,dx=\int\frac1{\pm\sqrt{1-u^2}}f\left(u,\pm\sqrt{1-u^2}\right)\,du, \qquad \qquad  u=\sin x
\int f(\sin x,\cos x)\,dx=\int\frac{-1}{\pm\sqrt{1-u^2}}f\left(\pm\sqrt{1-u^2},u\right)\,du \qquad \qquad u=\cos x
\int f(\sin x,\cos x)\,dx=\int\frac2{1+u^2} f\left(\frac{2u}{1+u^2},\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)\,du \qquad \qquad  u=\tan\frac x2
\int\frac{\cos x}{(1+\cos x)^3}\,dx = \int\frac2{1+u^2}\frac{\frac{1-u^2}{1+u^2}}{\left(1+\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)^3}\,du =
\frac{1}{4}\int(1-u^4)\,du = \frac{1}{4}\left(u-\frac15u^5\right) + C = \frac{(1+3\cos x+\cos^2x)\sin x}{5(1+\cos x)^3} + C

参见[编辑]